Question

16．在水平桌面上平整鋪放一層光滑絕緣層，并固定好，在絕緣層上建立直角坐標(biāo)系，在y軸上的A點(diǎn)和x軸上的B點(diǎn)間固定一個(gè)半徑為0.4m的內(nèi)、外壁均光滑的絕緣細(xì)管，其圓心在y軸上的O′點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0、0.2m），且∠BO′O=60°，如圖所示．現(xiàn)在第一象限和第四象限不同區(qū)域內(nèi)加上豎直方向的四個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其分界面為圖中a、b、c所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B₀、B₁、B₂、B₀，將一直徑略小于絕緣管內(nèi)徑的帶電荷量為1.0×10^-4C、質(zhì)量為1.2×10^-5kg的帶正電小球，在A端以大小2.0m/s的速度垂直y軸射入細(xì)管中，此后小球從B端射出，并垂直通過(guò)界面c、a，又重新垂直y軸回到A端進(jìn)入細(xì)管做周期性運(yùn)動(dòng)，已知重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小球在細(xì)管中運(yùn)動(dòng)時(shí)，細(xì)管對(duì)小球的作用力大�。�
（2）B₀、B₁、B₂的大小和方向．
（3）在運(yùn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)，小球在經(jīng)過(guò)第一、四象限的過(guò)程中，在區(qū)域Ⅱ、Ⅲ內(nèi)運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間與在區(qū)域Ⅰ、Ⅳ內(nèi)運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間之比．

Answer 1

分析 （1）小球在細(xì)管中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由管壁對(duì)小球水平方向的支持力提供向心力，豎直方向上管壁對(duì)小球豎直方向的支持力平衡，求出水平和豎直兩個(gè)方向支持力的分力，即可由力的合成求解．
（2）小球在區(qū)域Ⅰ做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力充當(dāng)向心力，列式求解B₀的大小，由左手定則判斷B₀的方向．要使小球不停地做周期性運(yùn)動(dòng)，則區(qū)域Ⅱ、Ⅲ內(nèi)小球運(yùn)動(dòng)的半徑應(yīng)相等，區(qū)域Ⅱ、Ⅲ的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)等大反向，B₂的方向?yàn)榇怪彼�平面向下，B₁的方向?yàn)榇怪彼�平面向上．畫出小球做周期性運(yùn)動(dòng)的徑跡，由幾何知識(shí)求出小球在區(qū)域Ⅲ、Ⅱ內(nèi)運(yùn)動(dòng)半徑，即可求得B₁、B₂的大小．
（3）根據(jù)v=$\frac{s}{t}$，s是弧長(zhǎng)，分段求出小球圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，即可求解．

解答  解：（1）小球在細(xì)管中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力 F₁=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
管壁對(duì)小球豎直方向的支持力 F₂=mg
則小球在細(xì)管中運(yùn)動(dòng)時(shí)，細(xì)管對(duì)小球的作用力大小 F=$\sqrt{{F}_{1}^{2}+{F}_{2}^{2}}$≈1.697×10^-4N．
（2）小球在區(qū)域Ⅰ做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有 qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得 B₀=$\frac{mv}{qR}$=0.6T
由左手定則知B₀方向垂直于水平面向下．
要使小球不停地做周期性運(yùn)動(dòng)，則區(qū)域Ⅱ、Ⅲ內(nèi)小球運(yùn)動(dòng)的半徑應(yīng)相等，區(qū)域Ⅱ、Ⅲ的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)等大反向，B₂的方向?yàn)榇怪彼�平面向下，B₁的方向?yàn)榇怪彼�平面向上．小球做周期性運(yùn)動(dòng)的徑跡如圖甲所示．設(shè)在區(qū)域Ⅲ、Ⅱ內(nèi)小球的圓心為O₁、O₂．小球圓周運(yùn)動(dòng)半徑為r，偏轉(zhuǎn)角為φ，如圖乙所示．
由幾何知識(shí)知：2rsinφ=O′D
 R+r-DG=2rcosφ-r
 DG=R+Rcos30°
又 r=$\frac{m{v}_{1}}{q{B}_{1}}$
解得 r=$\frac{\sqrt{3}}{5}$m，B₁=0.4$\sqrt{3}$T≈0.693T
則有 B₂=B₁=0.693T
（3）由v=$\frac{s}{t}$知，小球在區(qū)域Ⅳ內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t₁=$\frac{5πR}{6v}$
小球在區(qū)域Ⅱ、Ⅲ做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間共為 t₂=$\frac{2πr}{3v}$
小球在第一象限區(qū)域Ⅰ做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t₃=$\frac{πR}{2v}$
設(shè)在運(yùn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)，小球在經(jīng)過(guò)第一、四象限的過(guò)程中，在區(qū)域Ⅱ、Ⅲ內(nèi)運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間與在區(qū)域Ⅰ、Ⅳ內(nèi)運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間之比為k，則 k=$\frac{{t}_{2}}{{t}_{1}+{t}_{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
答：
（1）小球在細(xì)管中運(yùn)動(dòng)時(shí)，細(xì)管對(duì)小球的作用力大小是1.697×10^-4N．
（2）B₀的大小為0.6T，方向垂直于水平面向下．B₁的大小為0.693T，方向垂直水平面向上．B₂的大小為為0.693T，方向垂直水平面向下．
（3）在運(yùn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)，小球在經(jīng)過(guò)第一、四象限的過(guò)程中，在區(qū)域Ⅱ、Ⅲ內(nèi)運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間與在區(qū)域Ⅰ、Ⅳ內(nèi)運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間之比為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，確定出小球運(yùn)動(dòng)的向心力是基礎(chǔ)，關(guān)鍵是根據(jù)周期性，畫出小球的運(yùn)動(dòng)軌跡，利用各段運(yùn)動(dòng)的關(guān)系和幾何知識(shí)結(jié)合解答．