Question

19．設雨滴下落過程受到的空氣阻力與雨滴的橫截面積s成正比，與雨滴下落的速度v的平方成正比，即f=kSv²（其中k為比例系數(shù)），雨滴接近地面時近似看做勻速直線運動，重力加速度為g，若把雨滴看做球形，其半徑為R，球的體積為$\frac{4}{3}$πR³，橫截面積S=πR²，設雨滴的密度為ρ，求：
（1）每個雨滴最終的運動速度V_m（用ρ、R、g、k表示）；
（2）雨滴的速度達到$\frac{{V}_{m}}{2}$時，雨滴的加速度a為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)共點力平衡條件和題意中有關摩擦力的關系式列式求解；
（2）先根據(jù)題意求出速度達到$\frac{{V}_{m}}{2}$時的阻力，再根據(jù)牛頓第二定律求解加速度．

解答 解：（1）當f=mg時，雨點達到最終速度v_m，則
$kS{{v}_{m}}^{2}=mg$
則有：$kS{{v}_{m}}^{2}=ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}g$，
解得：${v}_{m}=\sqrt{\frac{4ρRg}{3k}}$．
（2）由牛頓第二定律得：mg-f=ma
則有：$mg-kS（\frac{{v}_{m}}{2}）^{2}=ma$，
代入數(shù)據(jù)解得：a=$\frac{3}{4}g$．
答：（1）每個雨滴最終的運動速度為$\sqrt{\frac{4ρRg}{3k}}$；
（2）雨滴的速度達到$\frac{{V}_{m}}{2}$時，雨滴的加速度a為$\frac{3}{4}g$．

點評 本題關鍵是根據(jù)阻力表達式和共點力平衡條件或牛頓第二定律列式求解．難度不大．