Question

8．“嫦娥一號”的成功發(fā)射，為實現(xiàn)中華民族幾千年的本月夢想邁出了重要的一步，如圖所示，“嫦娥一號”先進入繞月飛行的橢圓軌道，然后在橢圓軌道近月點A變軌進入繞月飛行圓軌道；已知“嫦娥一號”繞月飛行的橢圓軌道遠月點B距月球表面高度為H；又已知“嫦娥一號”繞月圓軌道飛行時，距月球表面的高度為h，飛行周期為T，月球的半徑為R，萬有引力常量為G；再然后，假設(shè)宇航長在飛船上，操控飛船在月球表面附近豎直平面內(nèi)俯沖，在最低點附近作半徑為r的圓周運動，宇航員質(zhì)量是m，飛船經(jīng)過最低點時的速度是v，求：
（1）月球的質(zhì)量M是多大？
（2）“嫦娥一號”經(jīng)繞月飛行的橢圓軌道遠月點B時的加速度多大？“嫦娥一號”經(jīng)繞月飛行的橢圓軌道近月點A時欲變軌進入如圖圓軌道，應(yīng)該向前還是向后噴氣？
（3）操控飛船在月球表面附近豎直平面內(nèi)俯沖經(jīng)過最低點，座位對宇航員的作用力F是多大？

Answer 1

分析 （1）嫦娥一號衛(wèi)星繞月球做圓周運動，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律與萬有引力公式求出月球的質(zhì)量．
（2）應(yīng)用萬有引力公式與牛頓第二定律分析答題．
（3）應(yīng)用萬有引力公式與牛頓第二定律求出座椅對宇航員的作用力．

解答 解：（1）萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），解得，月球質(zhì)量：M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$=ma，解得：a=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{（R+H）^{2}{T}^{2}}$，
“嫦娥一號”經(jīng)繞月飛行的橢圓軌道近月點A時欲變軌進入圓軌道，
軌道半徑變小，飛船要做近心運動，飛船需要加速，飛船應(yīng)向后噴氣；
（3）對宇航員，由牛頓第二定律得：F-G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得，作用力：F=$\frac{{4π}^{2}m（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$+$\frac{m{v}^{2}}{r}$；
答：（1）月球的質(zhì)量M是$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）“嫦娥一號”經(jīng)繞月飛行的橢圓軌道遠月點B時的加速度為$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{（R+H）^{2}{T}^{2}}$，飛船應(yīng)該向后噴氣；
（3）操控飛船在月球表面附近豎直平面內(nèi)俯沖經(jīng)過最低點，座位對宇航員的作用力F是：$\frac{{4π}^{2}m（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$+$\frac{m{v}^{2}}{r}$．

點評 本題考查了萬有引力定律的應(yīng)用，知道萬有引力提供向心力是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用萬有引力公式、牛頓第二定律可以解題，本題是常規(guī)題．