Question

15．一探險隊在探險時遇到一山溝，山溝的一側(cè)OA豎直，另一側(cè)的坡面OB呈拋物線形狀，與一平臺BC相連，如圖所示．已知山溝豎直一側(cè)OA的高度為2h，平臺離溝底h高處，C點離豎直O(jiān)A的水平距離為2h．以溝底的O點為原點建立坐標系xOy，坡面的拋物線方程為y=$\frac{{x}^{2}}{2h}$．質(zhì)量為m的探險隊員在山溝的豎直一側(cè)從A點沿水平方向跳向平臺．人視為質(zhì)點，忽略空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）若探險隊員從A點以速度v₀水平跳出時，掉在坡面OB的某處，則他在空中運動的時間為多少？
（2）為了能跳在平臺上，他在A點的初速度應(yīng)滿足什么條件？請計算說明．

Answer 1

分析 （1）平拋運動在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上做自由落體運動，根據(jù)水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，結(jié)合水平位移和豎直位移的表達式，結(jié)合拋物線方程求出運動的時間．
（2）將y=h代入y=$\frac{{x}^{2}}{2h}$，可求得x_B=$\sqrt{2}$h．根據(jù)高度差，結(jié)合水平位移求出最小初速度．根據(jù)高度差和C點到OA的水平距離求出最大初速度，從而得出A點初速度滿足的條件．

解答 解：（1）設(shè)探險隊員在OB坡面上的落點坐標為（x，y），由平拋規(guī)律可得：
x=v₀t，
2h-y=$\frac{1}{2}$gt²，
又y=$\frac{{x}^{2}}{2h}$，
以上三式聯(lián)立可得：t=$\frac{2h}{\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+gh}}$．
（2）將y=h代入y=$\frac{{x}^{2}}{2h}$，可求得：x_B=$\sqrt{2}$h．
由平拋規(guī)律得：x_B=v_OBt₁，x_C=v_OCt₁，2h-h=$\frac{1}{2}$gt₁²
解得：v_OB=$\sqrt{gh}$，v_OC=$\sqrt{2gh}$．
所以為了能跳到平臺上，他在A點的初速度應(yīng)滿足：$\sqrt{gh}$≤v₀≤$\sqrt{2gh}$．
答：（1）他在空中運動的時間為$\frac{2h}{\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+gh}}$．
（2）為了能跳在平臺上，他在A點的初速度應(yīng)滿足的條件為$\sqrt{gh}$≤v₀≤$\sqrt{2gh}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，抓住臨界情況，結(jié)合運動學(xué)公式靈活求解，難度中等．