Question

12．如圖所示，一豎直放置、半徑為R的粗糙半圓形軌道BC與一水平面AB在B點相連，B點為軌道的最低點，C點為軌道的最高點．一質量為m的小球以初速度v₀從B點進入豎直圓軌道BC，沿著圓軌道運動并恰好通過最高點C，然后做平拋運動．求：
（1）小球平拋后落地點D距B點的水平距離和到達D點時重力的功率；
（2）小球由B點沿著半圓軌道到達C點過程中，克服軌道摩擦阻力所做的功．

Answer 1

分析 （1）抓住小球恰好通過最高點C，根據(jù)牛頓第二定律求出C點的速度，根據(jù)高度求出平拋運動的時間，結合C點的速度和時間求出平拋運動的水平位移．根據(jù)D點的豎直分速度，求出重力的瞬時功率．
（2）對B到C的過程運用動能定理，求出克服摩擦力做功的大�。�

解答 解：（1）小球恰好通過最高點C，有：mg=$m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得：${v}_{C}=\sqrt{gR}$，
根據(jù)2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
則落地點D距B點的水平距離為：x=${v}_{C}t=\sqrt{gR}×\sqrt{\frac{4R}{g}}=2R$．
到達D點時豎直分速度${v}_{Dy}=\sqrt{2g•2R}$=$2\sqrt{gR}$，則重力的功率為：P=$mg{v}_{Dy}=2mg\sqrt{gR}$．
（2）對B到C的過程，根據(jù)動能定理得：$-mg•2R-{W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：W_f=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{5}{2}mgR$．
答：（1）小球平拋后落地點D距B點的水平距離為2R，到達D點時重力的功率為$2mg\sqrt{gR}$；
（2）小球由B點沿著半圓軌道到達C點過程中，克服軌道摩擦阻力所做的功為$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{5}{2}mgR$．

點評 本題考查了平拋運動、圓周運動與牛頓定律、動能定理的綜合，知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，以及圓周運動向心力的來源是解決本題的關鍵．