Question

如圖，粗糙的水平面AB上的空間中存在場(chǎng)強(qiáng)分別為E₁的勻強(qiáng)電場(chǎng)及勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，一帶正電小球質(zhì)量為m，所帶電荷量為q，剛開始靜止在A點(diǎn)，在電場(chǎng)力的作用下開始向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)進(jìn)入一埋入地下的半徑為R的半圓形軟管，且在轉(zhuǎn)角B處無機(jī)械能損失，若小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)恰好對(duì)水平面的作用力為

1

2

mg，試求：
（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小是多少？
（2）若A、B間距離為S，則小球從A運(yùn)動(dòng)到B克服摩擦力做多少功？
（3）在軟管的最低點(diǎn)E，軟管對(duì)小球的作用力是多大？
（4）在CD平面上距離C點(diǎn)L處有一長(zhǎng)為2L的沙坑，要使小球落在CD平面上的沙坑外，試求CD上空的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可知，洛倫茲力、支持力與重力處于平衡，因此由洛倫茲力公式可求出速度大小；
（2）小球從A到B過程，由動(dòng)能定理可求出小球從A運(yùn)動(dòng)到B克服摩擦力做的功；
（3）由小球機(jī)械能守恒定律與牛頓第二定律及向心力表達(dá)式，可求出軟管對(duì)小球的作用力；
（4）小球從C點(diǎn)沖出后，將運(yùn)動(dòng)沿水平方向和豎直方向進(jìn)行分解，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律可求出勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂的取值范圍．

解答：解（1）由于小球到B點(diǎn)時(shí)受洛倫茲力、支持力和重力處于平衡，所以
qV_BB+N=mg    
又因?yàn)?nbsp;N=

1

2

mg   
解之得：V_B=

mg

2qB

  
（2）小球從A到B運(yùn)動(dòng)過程中，只有摩擦力、電場(chǎng)力做功，由動(dòng)能定理可得
E₁qS-W_f=

1

2

m

v

2 B

-0   
∴W_f=E₁qS-

m3g2

8q2B2

      
（3）由機(jī)械能守恒定律并取E點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，設(shè)軟管對(duì)小球的作用力為F，可得

1

2

m

v

2 B

+mgR=

1

2

m

v

2 E

+0   　　
由牛頓第二定律：F-mg=

m v 2 E

R

　　　　　　
解得：F=

m3g2

4q2B2R

+3mg　　　　　
（4）小球從C點(diǎn)沖出后，在豎直方向上作初速度大小為V_y=

mg

2qB

的豎直上拋運(yùn)動(dòng)，水平方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
所以，設(shè)在空中飛行的時(shí)間為t，
則由t=

2vB

g

可得
t=

m

qB

                     
水平方向上，a=

E2q

m

，
小球落到沙坑以外，則

1

2

at2＜L或

1

2

at2＞3L      
可得E₂的取值范圍為：E₂＜

2LB2q

m

或　E₂＞

6LB2q

m

答：（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小是

mg

2qB

；
（2）若A、B間距離為S，則小球從A運(yùn)動(dòng)到B克服摩擦力做功qE1s-

m3g2

8q2B2

；
（3）在軟管的最低點(diǎn)E，軟管對(duì)小球的作用力是

m3g2

4q2B2R

+3mg；
（4）在CD平面上距離C點(diǎn)L處有一長(zhǎng)為2L的沙坑，要使小球落在CD平面上的沙坑外，試求CD上空的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂的取值范圍為：E₂＜

2LB2q

m

或　E₂＞

6LB2q

m

．

點(diǎn)評(píng)：考查了動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，同時(shí)涉及到洛倫茲力與速度的關(guān)系，將曲線運(yùn)動(dòng)的分解兩方向的直線運(yùn)動(dòng)，本題屬于力電綜合題，難題，學(xué)生容易失分．