Question

17．在一化肥廠有如圖所示的傳送裝置，AB為水平，長l₁=4m，順時針傳動的速率v₁=5m/s，CD為靠近AB的傾斜傳送帶，θ=37°，長l₂=5.3m，兩表面動摩擦因數(shù)μ=0.5，一袋標準化肥的質(zhì)量m=20kg．已知sin37°=0.6、cos37°=0.8、g=10m/s²

（1）CD傳送帶不動時，問一袋化肥從離A端x₁的位置處輕放在去，則在CD上上升的最大距離為x₂，求x₂與x₁的關(guān)系？
（2）若化肥從A端輕放上去，并使CD順時針以速率v傳動，問v應(yīng)滿足什么條件才能使化肥送至頂點D？

Answer 1

分析 （1）物體在水平傳送帶摩擦力的作用下，先向右加速，根據(jù)牛頓第二定律可求得加速度，根據(jù)位移公式可求加速運動的位移，在離A端距離x₀≤x₁處放上時，能在CD傳送帶上上升的距離相同．上升時為加速度為a₂ 的勻減速運動；
（2）分析物體滑上傾斜傳送帶的運動，以加速度a′=gsinθ-μgcosθ減速運動減速到與帶同速，后又減速到零，結(jié)合運動學公式可求．

解答 解：（1）設(shè)從離A端x₀ 輕放上化肥時，剛好能在B端與傳送帶達到同等速度，
化肥放上后的加速度為a₁．則：
μmg=ma₁---------①
${x}_{0}={L}_{1}-\frac{{V}_{1}^{2}}{2{a}_{1}}$-----------②
解得：${a}_{1}=5m/{s}^{2}$，x₀=1.5m
在離A端距離x₀≤x₁處放上時，能在CD傳送帶上上升的距離相同．上升時為加速度為a₂ 的勻減速運動：mgsinθ+μmgcosθ=ma₂-----------③
${V}_{1}^{2}=2{a}_{2}{x}_{2}$-------------④
解得：${a}_{2}=10m/{s}^{2}$、
x₂=1.25m  
當x₀≤x₁≤L₁時，在拐點處的速度為V_x
${V}_{x}^{2}=2{a}_{2}{x}_{2}$=2a₁（L-x₁）-----------⑤
解得：x₂=2-0.5x₁
綜上所述${x}_{2}=\left\{\begin{array}{l}{1.25m}&{0≤{x}_{1}≤1.5m}\\{2-0.5{x}_{1}}&{1.5m≤{x}_{1}≤4m}\end{array}\right.$
（2）從A端放上去，設(shè)CD傳動速度為V₂ 時，化肥恰好能到達D端
假設(shè)V₂＜V₁，則化肥經(jīng)歷了兩個減速階段，第一階段從C點到減速至V₂，加速度為a₂；達到V₂后以a₃ 繼續(xù)減速至0，則：
mgsinθ-μmgcosθ=ma₃---------⑦
 $\frac{{V}_{1}^{2}-{V}_{2}^{2}}{2{a}_{2}}+\frac{{V}_{2}^{2}}{2{a}_{3}}={L}_{2}$--------------------⑧
聯(lián)立⑦⑧可得V₂=4.5m/s 并驗證了假設(shè)成立，所以條件為V≥4.5m/s
答：（1）x₂與x₁的關(guān)系${x}_{2}=\left\{\begin{array}{l}{1.25m}&{0≤{x}_{1}≤1.5m}\\{2-0.5{x}_{1}}&{1.5m≤{x}_{1}≤4m}\end{array}\right.$
（2）若化肥從A端輕放上去，并使CD順時針以速率v傳動，v應(yīng)滿足V≥4.5m/s條件才能使化肥送至頂點D

點評 本題關(guān)鍵是分段分析物體的運動情況，由物體受力和運動學公式綜合列式求解，難度太大．