Question

【題目】萬(wàn)有引力和庫(kù)侖力有類似的規(guī)律，有很多可以類比的地方。已知引力常量為G，靜電力常量為k。

（1）用定義靜電場(chǎng)強(qiáng)度的方法來(lái)定義與質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)相距r處的引力場(chǎng)強(qiáng)度EG的表達(dá)式；

（2）質(zhì)量為m、電荷量為e的電子在庫(kù)侖力的作用下以速度v繞原子核做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，該模型與太陽(yáng)系內(nèi)行星繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)相似，被稱為“行星模型”，如圖（1）。已知在一段時(shí)間內(nèi)，電子走過(guò)的弧長(zhǎng)為s，其速度方向改變的角度為θ（弧度）。不考慮電子之間的相互作用，求出原子核的電荷量Q；

（3）如圖（2），用一根長(zhǎng)為L的絕緣細(xì)線懸掛一個(gè)可看成質(zhì)點(diǎn)的金屬小球，質(zhì)量為m，電荷量為-q。懸點(diǎn)下方固定一個(gè)足夠大的水平放置的均勻帶正電的介質(zhì)平板。小球在豎直平面內(nèi)做小角度振動(dòng)。已知重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力。

a．已知忽略邊緣效應(yīng)的情況下，帶電平板所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線都垂直于平板，靜電場(chǎng)的電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)。請(qǐng)證明：帶電平板所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)；

b．在上述帶電平板附近所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小為E，求：金屬小球的振動(dòng)周期。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）a.見(jiàn)解析；b.

【解析】

（1）EG的表達(dá)式為

（2）根據(jù)

聯(lián)立得

（3）a．反證法

法1：如圖，若存在電場(chǎng)線平行但不等間距的靜電場(chǎng)，則可以引入試探電荷+q，讓+q從a點(diǎn)沿矩形路線abcda（ab與電場(chǎng)線平行，bc邊與電場(chǎng)線垂直）運(yùn)動(dòng)一周回到a點(diǎn)。設(shè)ab處的場(chǎng)強(qiáng)大小為E1，cd處的場(chǎng)強(qiáng)大小為E2，根據(jù)功的定義，電場(chǎng)力做的總功

其中

bc段和da段電場(chǎng)力始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直

故

得

但根據(jù)電場(chǎng)力做功的特點(diǎn)，做功與路徑無(wú)關(guān)，故

上述假設(shè)矛盾，故不存在電場(chǎng)線平行但不等間距的靜電場(chǎng)

法2：如圖，若存在電場(chǎng)線平行但不等間距的靜電場(chǎng)，則可以引入試探電荷+q，讓+q從a點(diǎn)分別沿矩形abcd（ab與電場(chǎng)線平行，bc邊與電場(chǎng)線垂直）的abc和adc運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)。設(shè)ab處的場(chǎng)強(qiáng)大小為E1，cd處的場(chǎng)強(qiáng)大小為E2，根據(jù)功的定義，路徑ac和adc電場(chǎng)力做的功分別為

其中

bc段和da段電場(chǎng)力始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直

故

，

得

故

但根據(jù)電場(chǎng)力做功的特點(diǎn)，做功與路徑無(wú)關(guān)，故

上述假設(shè)矛盾，故不存在電場(chǎng)線平行但不等間距的靜電場(chǎng)

b．電場(chǎng)力

等效重力加速度

小球在庫(kù)侖力作用下的振動(dòng)周期