Question

12．如圖甲所示，在xOy平面（y軸沿豎直方向）的矩形區(qū)域MNPQ內(nèi)存在平行于y軸方向的勻強(qiáng)電場，其電場強(qiáng)度E隨時(shí)間t變化的規(guī)律如圖乙所示（沿y軸正向?yàn)槠湔�方向），該矩形區(qū)域的長和寬分別為a=40cm和b=20cm，且下邊界PQ與x軸重合，坐標(biāo)原點(diǎn)O為下邊界PQ的中點(diǎn)；在矩形區(qū)域MNPQ內(nèi)有一個(gè)半徑R=10cm的虛線圓（O點(diǎn)在虛線圓上），在虛線圓區(qū)域內(nèi)還存在垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場，其磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的規(guī)律如圖丙所示．在t=0時(shí)刻，一質(zhì)量m=9.0×10^-9kg、帶電荷量q=+9.0×10^-6C的小球，以v₀=10m/s的初速度沿y 軸正向從O點(diǎn)射入虛線圓區(qū)域，取重力加速度g=10m/s²．

（1）分析小球在虛線圓區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動情況，畫出其運(yùn)動軌跡的示意圖，并確定小球在虛線圓區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動時(shí)間及離開該區(qū)域時(shí)的位置坐標(biāo)．
（2）確定小球從矩形區(qū)域離開時(shí)的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）分析小球的受力情況，根據(jù)小球的受力情況分析清楚小球的運(yùn)動情況，應(yīng)用圓周運(yùn)動的周期公式與軌道半徑公式求出小球做圓周運(yùn)動的周期與軌道半徑，然后答題．
（2）小球離開圓形虛線區(qū)域后做類平拋運(yùn)動，應(yīng)用類平拋運(yùn)動規(guī)律分析答題．

解答 解：（1）小球運(yùn)動軌跡如圖所示：
小球從O點(diǎn)射入虛線圓形區(qū)域后，受重力、電場力、洛倫茲力作用，在0～$\frac{7π}{600}$s時(shí)間內(nèi)，由于電場力與重力合力為零，則小球在這段時(shí)間內(nèi)，如果小球在虛線圓形區(qū)域內(nèi)，小球?qū)⒃诼鍌惼澚ψ饔孟伦鰟蛩賵A周運(yùn)動，在0～$\frac{π}{600}$s內(nèi)，小球做圓周運(yùn)動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
解得：T=$\frac{π}{50}$s，
小球做圓周運(yùn)動的軌道半徑：r=$\frac{mv}{qB}$，
代入數(shù)據(jù)解得：r=0.1m=10cm，
運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心角：θ=$\frac{{t}_{0}}{T}$×360°，其中：t₀=$\frac{π}{600}$s，
解得：θ=30°，
在$\frac{π}{600}$s～$\frac{3π}{600}$s時(shí)間內(nèi)，由于磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)樵瓉淼?2倍，
則小球做圓周運(yùn)動的軌道半徑變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{12}$，即為：$\frac{5}{6}$cm，周期變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{12}$，即為$\frac{π}{600}$s，
可見：在這段時(shí)間內(nèi)，小球正好運(yùn)動兩2周，最后處于與前一段時(shí)間的末狀態(tài)相同的狀態(tài)，
進(jìn)一步分析可知：在$\frac{3π}{600}$s～$\frac{4π}{600}$s及$\frac{6π}{600}$s～$\frac{7π}{600}$s時(shí)間內(nèi)，小球的運(yùn)動情況與其在0～$\frac{π}{600}$s時(shí)間的運(yùn)動情況相同，在$\frac{4π}{600}$s～$\frac{6π}{600}$s時(shí)間內(nèi)小球的運(yùn)動情況與其在$\frac{π}{600}$s～$\frac{3π}{600}$s時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動情況相同．
根據(jù)以上分析可知，小球的運(yùn)動軌跡如圖所示，其在虛線區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動時(shí)間：△t=$\frac{7π}{600}$s．
由幾何知識可得，小球離開虛線區(qū)域時(shí)的位置坐標(biāo)為：（10cm，10cm）．
（2）小球在t=$\frac{7π}{600}$s時(shí)從坐標(biāo)為（10，10）的位置以沿x軸正方向的速度：v₀=10m/s離開虛線圓形區(qū)域，
在$\frac{7π}{600}$s-$\frac{14π}{600}$s時(shí)間內(nèi)，小球若在矩形區(qū)域MNPQ內(nèi)，則小球在重力和電場力作用下做類平拋運(yùn)動，
由牛頓第二定律得：a=$\frac{mg+qE}{m}$，設(shè)小球離開虛線區(qū)域到離開矩形區(qū)域所以時(shí)間為t，在該過程中，
小球沿x軸正方向的位移大�。簒₀=10cm=0.1m，x₀=v₀t，
解得：t=0.01s，可見，在不到$\frac{14π}{600}$s時(shí)刻，
小球已經(jīng)離開矩形區(qū)域，小球沿y軸負(fù)方向的位移大小為y₀=$\frac{1}{2}$at²，
代入數(shù)據(jù)解得：y=0.02m=2cm，
故小球從矩形區(qū)域離開時(shí)的位置坐標(biāo)為：（20cm，8cm）．
答：（1）小球在虛線圓區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動軌跡如圖所示，小球在虛線圓區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動時(shí)間為$\frac{7π}{600}$s，
離開該區(qū)域時(shí)的位置坐標(biāo)為：（10cm，10cm）．
（2）小球從矩形區(qū)域離開時(shí)的位置坐標(biāo)為：（20cm，8cm）．

點(diǎn)評 本題考查了小球在復(fù)合場中的運(yùn)動，分析清楚小球的運(yùn)動過程，應(yīng)用小球最圓周運(yùn)動的周期公式與半徑公式、類平拋運(yùn)動規(guī)律即可在解題．