Question

20．如圖所示，兩平行且無限長光滑金屬導(dǎo)軌MN、PQ與水平面的夾角為θ=30°，兩導(dǎo)軌之間的距離為L=1m，兩導(dǎo)軌M、P之間接入電阻R=0.2Ω，導(dǎo)軌電阻不計，在abcd區(qū)域內(nèi)有一個方向垂直于兩導(dǎo)軌平面向下的磁場Ⅰ，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=1T．磁場的寬度x₁=1m，在cd連線以下的區(qū)域有一個方向也垂直于導(dǎo)軌平面向下的磁場Ⅱ，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=0.5T．一個質(zhì)量為m=1kg的金屬棒垂直放在金屬導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒的電阻r=0.2Ω，若將金屬棒在離ab連線上端x₀處自由釋放，則金屬棒進(jìn)入磁場Ⅰ恰好做勻速直線運(yùn)動，金屬棒進(jìn)入磁場Ⅱ后，經(jīng)過ef時系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，cd與ef之間的距離x₂=8m．（g取10m/s²）
（1）求金屬棒從開始靜止到磁場Ⅱ中達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)這段時間中電阻R產(chǎn)生的熱量．
（2）求金屬棒從開始靜止到在磁場Ⅱ中達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)所經(jīng)過的時間．

Answer 1

分析 （1）金屬棒達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時做勻速直線運(yùn)動，由平衡條件求出穩(wěn)定時的速度，再由能量守恒定律求解電阻R產(chǎn)生的熱量．
（2）由運(yùn)動學(xué)公式和牛頓第二定律求出金屬棒在進(jìn)入磁場前的運(yùn)動時間，進(jìn)入磁場Ⅰ恰好做勻速直線運(yùn)動，由運(yùn)動學(xué)公式求出勻速直線運(yùn)動的時間．對于金屬棒在磁場Ⅱ中運(yùn)動過程，運(yùn)用動量定理求時間．其中通過金屬棒的電量可根據(jù)q=$\frac{△Φ}{R+r}$求解．

解答 解：（1）設(shè)金屬棒進(jìn)入磁場Ⅰ、Ⅱ中穩(wěn)定時的速度分別為v₁和v₂．
在磁場Ⅰ中穩(wěn)定時，由平衡條件得  mgsinθ=B₀I₁L
又 I₁=$\frac{{B}_{0}L{v}_{1}}{R+r}$
聯(lián)立可得 v₁=$\frac{mg（R+r）}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$sinθ=$\frac{1×10×（0.2+0.2）}{{1}^{2}×{1}^{2}}$×sin30°=2m/s
在磁場Ⅱ中穩(wěn)定時，有mgsinθ=B₁IL
又 I=$\frac{{B}_{1}L{v}_{2}}{R+r}$ 
聯(lián)立可得 v₂=$\frac{mg（R+r）}{{B}_{1}^{2}{L}^{2}}$sinθ=$\frac{1×10×（0.2+0.2）}{0．{5}^{2}×{1}^{2}}×sin30°$=8m/s
從靜止到磁場Ⅱ中達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)過程中，根據(jù)能量守恒得
電阻R產(chǎn)生的熱量  Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q=$\frac{1}{2}$[mg（x₁+x₂）sinθ-（$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$）]
代入解得 Q_R=10.5J
（3）金屬棒從開始靜止到剛進(jìn)入磁場Ⅰ的時間 t₁=$\frac{{v}_{1}}{gsinθ}$=$\frac{4}{10×sin30°}$s=0.8s
在磁場Ⅰ運(yùn)動時間 t₂=$\frac{{x}_{1}}{{v}_{1}}$=$\frac{1}{4}$s=0.25s
設(shè)金屬棒在磁場Ⅱ中運(yùn)動時間為t₃．
根據(jù)動量定理得：（mgsinθ-B₁$\overline{I}$L）t₃=mv₂-mv₁；
其中q=$\overline{I}$t=$\frac{\overline{E}}{R+r}$t=$\frac{{B}_{1}L\overline{v}{t}_{3}}{R+r}$=$\frac{{B}_{1}L{x}_{2}}{R+r}$=$\frac{0.5×1×8}{0.2+0.2}$C=10C
則得 mgsinθt₃-B₁Lq=mv₂-mv₁；
代入解得 t₃=1.8s
故總時間為t=t₁+t₂+t₃=2.85s
答：
（1）金屬棒從開始靜止到磁場Ⅱ中達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)這段時間中電阻R產(chǎn)生的熱量為10.5J．
（2）金屬棒從開始靜止到在磁場Ⅱ中達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)所經(jīng)過的時間為2.85s．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用動量定理求解時間，也可以運(yùn)用微元法求解，要掌握電磁感應(yīng)中通過導(dǎo)體棒的電量q=$\frac{△Φ}{R+r}$，要在會推導(dǎo)的基礎(chǔ)上記牢．