Question

9．如圖所示，離子源A產(chǎn)生的初速度為零、帶電量均為e、質(zhì)量不同的正離子被電壓為U₀的加速電場(chǎng)加速后勻速通過準(zhǔn)直管，垂直射入勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)后通過極板HM上的小孔S離開電場(chǎng)，經(jīng)過一段勻速直線運(yùn)動(dòng)，垂直于邊界MN進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．已知HO=d，HS=2d，∠MNQ=90°．（忽略粒子所受重力）
（1）求偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E₀的大小以及HM與MN的夾角φ；
（2）求質(zhì)量為m的離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；
（3）若質(zhì)量為4m的離子恰好垂直打在NQ的中點(diǎn)S₁處，求能打在NQ上的正離子的質(zhì)量范圍．

Answer 1

分析 （1）正離子被電壓為U₀的加速電場(chǎng)加速后的速度可以通過動(dòng)能定理求出，而正離子垂直射入勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后，作類平拋運(yùn)動(dòng)，最終過極板HM上的小孔S離開電場(chǎng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的公式及幾何關(guān)系即可求出電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E₀，φ可以通過末速度沿場(chǎng)強(qiáng)方向和垂直電場(chǎng)方向的速度比求得正切值求解；
（2）正離子進(jìn)入磁場(chǎng)后在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力提供向心力，根據(jù)向心力公式即可求得半徑；
（3）根據(jù)離子垂直打在NQ的位置及向心力公式分別求出運(yùn)動(dòng)的半徑R₁、R₂，再根據(jù)幾何關(guān)系求出S₁和S₂之間的距離，能打在NQ上的臨界條件是，半徑最大時(shí)打在Q上，最小時(shí)打在N點(diǎn)上，根據(jù)向心力公式和幾何關(guān)系即可求出正離子的質(zhì)量范圍．

解答 解：（1）正離子被電壓為U₀的加速電場(chǎng)加速后速度設(shè)為v₁，
設(shè)對(duì)正離子，應(yīng)用動(dòng)能定理有：eU₀=$\frac{1}{2}$mv₁²，
正離子垂直射入勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，
作類平拋運(yùn)動(dòng)受到電場(chǎng)力F=qE₀，產(chǎn)生的加速度為：a=$\frac{F}{m}$，
即：a=$\frac{q{E}_{0}}{m}$，垂直電場(chǎng)方向勻速運(yùn)動(dòng)，有：2d=v₁t，
沿場(chǎng)強(qiáng)方向：Y=$\frac{1}{2}$at²，聯(lián)立解得：E₀=$\frac{{U}_{0}}revrldt$，
又tanφ=$\frac{{v}_{1}}{at}$，解得：φ=45°；  
（2）正離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v₂=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+（at）^{2}}$，
正離子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力提供向心力得：qv₂B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，
解得離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：R=2$\sqrt{\frac{m{U}_{0}}{e{B}^{2}}}$；
（3）由R=2$\sqrt{\frac{m{U}_{0}}{e{B}^{2}}}$可知，質(zhì)量為4m的離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)打在S₁，運(yùn)動(dòng)半徑為R₁=2$\sqrt{\frac{（4m）{U}_{0}}{e{B}^{2}}}$，
由R′²=（2R₁）²+（R′-R₁）²，解得：R′=$\frac{5}{2}$R₁，再根據(jù)：$\frac{1}{2}$R₁＜R＜$\frac{5}{2}$R₁，
解得：m＜m_x＜25m． 
答：（1）偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E₀的大小為：$\frac{{U}_{0}}6jaq8sm$，HM與MN的夾角φ為45°；
（2）質(zhì)量為m的離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為2$\sqrt{\frac{m{U}_{0}}{e{B}^{2}}}$；
（3）若質(zhì)量為4m的離子恰好垂直打在NQ的中點(diǎn)S₁處，能打在NQ上的正離子的質(zhì)量范圍是：m＜m_x＜25m．

點(diǎn)評(píng) 本題第（1）問考查了帶電粒子在電場(chǎng)中加速和偏轉(zhuǎn)的知識(shí)（即電偏轉(zhuǎn)問題），加速過程用動(dòng)能定理求解，偏轉(zhuǎn)過程用運(yùn)動(dòng)的合成與分解知識(shí)結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解；第（2）問考查磁偏轉(zhuǎn)知識(shí)，先求進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的合速度v，再由洛倫茲力提供向心力求解R；第（3）問考查用幾何知識(shí)解決物理問題的能力．該題綜合性強(qiáng)，難度大．