Question

13．如圖所示，傳送裝置由輪半徑均為R=$\frac{1}{π}$米的主動(dòng)輪O₂和動(dòng)輪O₁以及始終繃緊的傳送帶等構(gòu)成，裝置傾角θ=30°，上下兩輪軸心O₁、O₂相距L=10m，A、B兩點(diǎn)為傳送帶與轉(zhuǎn)動(dòng)輪的相切點(diǎn)．現(xiàn)將一煤塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）輕放在傳送帶的A點(diǎn)，經(jīng)傳送帶向上傳送，在B點(diǎn)進(jìn)入上平臺(tái)．已知煤塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，g取10m/s²．
（1）若傳送帶始終以v=5m/s的速率順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，則煤塊從A到B所用的時(shí)間為多少？
（2）要想盡快將煤塊由A點(diǎn)運(yùn)送到B點(diǎn)，則傳送帶的速率至少應(yīng)為多大？
（3）煤塊與傳送帶相對(duì)滑動(dòng)時(shí)會(huì)在傳送帶上留下黑色的痕跡，那么，當(dāng)傳送帶的速率滿足什么條件時(shí)，能使傳送帶上留下的黑色痕跡最長？

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求出加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出加速與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，然后求出總時(shí)間．
（2）由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式求出傳送帶的速度．
（3）應(yīng)用牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出初速度的最小速度，然后答題．

解答 解：（1）煤塊從A到B過程，先加速后運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
μmgcosθ-mgsinθ=ma，
代入數(shù)據(jù)解得：a=2.5m/s²，
煤塊加速的時(shí)間為：t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{5}{2.5}$=2s，
加速位移為：x₁=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{{5}^{2}}{2×2.5}$=5m，
勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₂=$\frac{L-{x}_{1}}{v}$=$\frac{10-5}{5}$=1s，
從A到B煤塊的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=t₁+t₂=3s；
（2）要使煤塊盡快由A運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，煤塊應(yīng)一直加速運(yùn)動(dòng)，
由v₂²=2aL，
代入數(shù)據(jù)解得：v₂=5$\sqrt{2}$m/s≈7.07m/s，則傳送帶的速率至少為7.07m/s；
（3）傳送帶的速度越大，黑色痕跡越長，黑色痕跡最長為傳送帶的長度，即：
s=2L+2πR，s=22m，
煤塊由A點(diǎn)運(yùn)送到B點(diǎn)時(shí)間內(nèi)，傳送帶運(yùn)轉(zhuǎn)的距離：s_總=s+L，s_總=32m，
煤塊由A到B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₃=$\frac{v}{a}$，
解得：t₃=2$\sqrt{2}$s，
傳送帶運(yùn)轉(zhuǎn)的速度至少為：v₃=$\frac{{s}_{總}}{{t}_{3}}$，
解得：v₃=8$\sqrt{2}$m/s≈11.3m/s，
則初速度的速率大于11.3m/s時(shí)，能使傳送帶上流向的黑色痕跡最長；
答：（1）若傳送帶始終以v=5m/s的速率順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，則煤塊從A到B所用的時(shí)間為3s；
（2）要想盡快將煤塊由A點(diǎn)運(yùn)送到B點(diǎn)，則傳送帶的速率至少應(yīng)為7.07m/s；
（3）當(dāng)傳送帶的速率v≥11.3m/s時(shí)，能使傳送帶上留下的黑色痕跡最長．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求運(yùn)動(dòng)時(shí)間、傳送帶速度問題，分析清楚煤塊的運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可正確解題．