Question

3．假設銀河系的物質在宇宙中呈球對稱分布，其球心為銀心，距離銀心相等處的銀河質量分布相同．又假定距銀心距離為r處的物質受到銀河系的萬有引力和將以r為半徑的球面內所有銀河系物質集中于銀心時所產(chǎn)生的萬有引力相同．已知地球到太陽中心的距離R₀，太陽到銀心的距離a=1.75×10⁸年，太陽質量為Ms，銀河系中發(fā)光的物質僅分布在r≤1.5a的范圍內．目前可能測得繞銀心運動的物體距銀心的距離不大于6a，且a≤r≤6a范圍內，物體繞銀心運動的速度是一恒量．按上述條件解答：
（1）論證銀河系物質能否均勻分布；
（2）計算銀河系中發(fā)光的物質質量最多有多少；
（3）計算整個銀河系物質質量至少有多少；
（4）計算銀河系中不發(fā)光物質（即暗物質）質量至少有多少．（上述計算結果均用太陽質量Ms表示）

Answer 1

分析 （1）用假設法來判定質量能否均勻分布，依據(jù)萬有引力提供向心力的速度表達式，通過計算，驗證假設結果與實際觀測結果是否一致，從而得出結論
（2、3、4）依據(jù)萬有引力提供向心力的速度表達式，結合周期公式，推導出來銀河系發(fā)光物質的質量和總質量，總質量減去發(fā)光物質的質量即為暗物質的質量．

解答 解：
（1）假定銀河系物質集中分布在r≤1.5a的范圍內，設其質量為M，則在1.5a≤r≤6a范圍內，質量為m的物質在銀河系物質作用下做圓周運動時，有：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：
$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
即銀河系物體的速率v與$\sqrt{\frac{1}{r}}$成正比，與觀察結果不一致．
假定銀河系物質集中分布在r≤6a的范圍內，設銀河系物質的密度為ρ，則質量為m的物體在此范圍內繞銀心圓周運動時有：
$G\frac{ρ\frac{4π{r}^{3}}{3}m}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：
$v=\sqrt{\frac{4}{3}πρG}•r$，
即銀河系物體的速率v與r成正比，與觀察結果也不一致，由以上分析可知，銀河系物質在r≤6a的范圍內，不是均勻分布的，發(fā)亮物質僅僅分布在r≤1.5a的范圍內，在1.5a≤r≤6a范圍內是不發(fā)光物質，即所謂的暗物質，當然也不排斥在r≤1.5a的范圍內存在暗物質．
（2、3、4）根據(jù)太陽繞銀心的運動周期T和太陽到銀心的距離r_s=a，可求出半徑為a的球面內銀河系物質的質量Ma，以Ms表示太陽質量，v_s表示太陽速度，則有：
$G\frac{MaMs}{{a}^{2}}=Ms\frac{{{v}_{s}}^{2}}{a}$，
而：
${v}_{s}=\frac{2πa}{T}$，
由此得：
$Ma=\frac{4{π}^{2}{a}^{3}}{G{T}^{2}}$，
當質量為m的物體繞銀心做半徑為r的圓周運動時，有：
$G\frac{{M}_{r}m}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
若a≤r≤6a，根據(jù)觀察結果：v=v_s，
由以上各式得：
$Ma=Ms（\frac{a}{{R}_{0}}）^{3}{（\frac{{T}_{0}}{T}）}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：
$Ma=（1.75×1{0}^{9}）^{3}×（\frac{1}{2.4×1{0}^{8}}）^{2}Ms$=9.3×10¹⁰Ms，
可知銀河系中發(fā)光物質的質量上限是：
$M（1.5a）=\frac{Ma}{a}×1.5a=1.4×1{0}^{11}Ms$，
銀河系的物質下限是：
$M（6a）=\frac{Ma}{a}×6a=5.6×1{0}^{11}Ms$，
不發(fā)光物質的下限為：
M（暗）=M（6a）-M（1.5a）=4.2×10¹¹Ms．
答：
（1）銀河系物質不能均勻分布；
（2）銀河系中發(fā)光的物質質量最多有1.4×10¹¹Ms；
（3）整個銀河系物質質量至少5.6×10¹¹Ms；
（4）銀河系中不發(fā)光物質（即暗物質）質量至少4.2×10¹¹Ms．

點評 該題的關鍵是建立物理模型，該情形不是針對的兩個固定天體研究，而是針對整個銀河系，但是其基本原理是與兩個天體的情形已知的，規(guī)律相同，故可利用萬有引力表達式來求解．另外該題在判定物質是否均勻分布上，使用的是假設法，此方法一般用來判定不確定狀態(tài)的．