Question

如圖所示，在傾角θ=30°的斜面上放置一段凹槽B，B與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=

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，槽內(nèi)靠近右側(cè)壁處有一小物塊A（可視為質(zhì)點(diǎn)），它到凹槽左側(cè)壁的距離d=0.10m．A、B的質(zhì)量都為m=2.0kg，B與斜面間的最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動(dòng)摩擦力，不計(jì)A、B之間的摩擦，斜面足夠長．現(xiàn)同時(shí)由靜止釋放A、B，經(jīng)過一段時(shí)間，A與B的側(cè)壁發(fā)生碰撞，碰撞過程不計(jì)機(jī)械能損失，碰撞時(shí)間極短．取g=10m/s²．求：
（1）畫出凹槽B運(yùn)動(dòng)的速度v隨時(shí)間t的變化圖象；
（2）物塊A與凹槽B的左側(cè)壁第n次碰撞后瞬間A、B的速度大��；
（3）從初始位置到物塊A與凹槽B的左側(cè)壁發(fā)生第n次碰撞時(shí)B的位移大小．

Answer 1

分析：（1）對(duì)B進(jìn)行受力分析，判斷B的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，釋放后A做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，A、B兩物體質(zhì)量相等，發(fā)生彈性碰撞時(shí)它們交換速度，由牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出物體的速度，然后畫出v-t圖象．
（2）由（1）求出A、B碰撞n次后，A、B的速度．
（3）根據(jù)A、B的運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用v-t圖象可以求出B的位移．

解答：解（1）B與斜面間的滑動(dòng)摩擦力為：f=μ×2mgcos30°=

1

2

mg
B所受重力沿斜面向下的分力為：G₁=mgsin30°=

1

2

mg
B所受最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，B沿斜面的分力與最大靜摩擦力相等，釋放B后，B靜止；
釋放A后，A做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：mgsin30°=ma，a=5m/s²
由勻變速運(yùn)動(dòng)的速度位移公式可得：v_A1²-0=2ad，A與B碰撞前A的速度為：v_A1=1m/s；
A、B碰撞時(shí)動(dòng)量守恒，A、B碰撞時(shí)不計(jì)機(jī)械能損失，碰撞是彈性碰撞，由于A、B質(zhì)量相等，碰撞時(shí)A、B交換速度，碰后A速度為零，B的速度為：v_B1=1m/s，碰后B做勻速直線運(yùn)動(dòng)，A做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，
設(shè)經(jīng)過時(shí)間t后，A、B速度相等，v_A2=at，t=0.2s，A的位移為：s_A1=

1

2

at²=0.10m=d，此時(shí)間內(nèi)B沿斜面方向的位移為：SB1=vB1t=0.2m，故此時(shí)刻AB的相對(duì)位置重新回到初始狀態(tài)，A相對(duì)于B物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)仍為初速度為零、加速度為a=gsin30°的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，可知再經(jīng)過t=0.2s發(fā)生第二次碰撞，碰時(shí)A球速度為：vA3=vA2+at=0.2+5×0.2m/s=0.3m/s，碰后兩球再次交換速度，B的速度改為0.3m/s，A的速度人為0.2m/s，之后重復(fù)以上的運(yùn)動(dòng)過程，每過0.4s碰撞一次，碰后B的速度每次增加1m/s，圖象如下
（2）因?yàn)锽與斜面間的滑動(dòng)摩擦力f=μ×2mgcos30°=

1

2

mg，B所受重力沿斜面向下的分力G₁=mgsin30°=

1

2

mg，B所受最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，B沿斜面的分力與最大靜摩擦力相等，釋放B后，B靜止；
釋放A后，A做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
mgsin30°=ma，
a=5m/s²，
由勻變速運(yùn)動(dòng)的速度位移公式可得：v_A1²-0=2ad，
A與B碰撞前A的速度v_A1=1m/s；
A、B碰撞時(shí)動(dòng)量守恒，A、B碰撞時(shí)不計(jì)機(jī)械能損失，碰撞是彈性碰撞，由于A、B質(zhì)量相等，碰撞時(shí)A、B交換速度，碰后A速度為零，B的速度為：
v_B1=1m/s，
碰后B做勻速直線運(yùn)動(dòng)，A做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過時(shí)間t后，A、B速度相等，
v_A2=at，
t=0.2s，
A的位移s_A1=

1

2

at²=0.10m=d，
此時(shí)間內(nèi)B沿斜面方向的位移為：
SB1=vB1t=0.2m，
故此時(shí)刻AB的相對(duì)位置重新回到初始狀態(tài)，A相對(duì)于B物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)仍為初速度為零、加速度為a=gsin30°的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，可知再經(jīng)過t=0.2s發(fā)生第二次碰撞，碰時(shí)A球速度為：
vA3=vA2+at=1+5×0.2m/s=2m/s
碰后兩球再次交換速度，B的速度改為2m/s，A的速度改為1m/s，之后重復(fù)以上的運(yùn)動(dòng)過程，每過0.4s碰撞一次，碰后B的速度每次增加1m/s
故：v_An=（n-1）m/s，v_Bn=n m/s
（3）由v--t圖象得，從初始位置到物塊A與凹槽B的左側(cè)壁發(fā)生第n次碰撞時(shí)B的位移大小為：
x_總=0×0.2+1×0.4+2×0.4+---+（n-1）×0.4=0.2n²-0.2n
答：（1）畫出凹槽B運(yùn)動(dòng)的速度v隨時(shí)間t的變化圖象為：
（2）物塊A與凹槽B的左側(cè)壁第n次碰撞后瞬間A、B的速度大小為v_An=（n-1）m/s，v_Bn=n m/s
（3）從初始位置到物塊A與凹槽B的左側(cè)壁發(fā)生第n次碰撞時(shí)B的位移大小為0.2n²-0.2n

點(diǎn)評(píng)：本題是復(fù)雜的力學(xué)綜合題，分析運(yùn)動(dòng)情況，把握每個(gè)過程的物理規(guī)律是關(guān)鍵．對(duì)于A、B的碰撞過程，屬于彈性碰撞過程，兩者質(zhì)量相等，交換速度．此外注意應(yīng)用圖象求解位移是個(gè)好方法