Question

20．如圖所示，光滑的長直金屬桿上套兩個(gè)金屬環(huán)與一個(gè)完整正弦圖象的金屬導(dǎo)線ab連接，桿電阻不計(jì)，導(dǎo)線電阻為R，ab間距離為2L，導(dǎo)線組成的正弦圖形頂部或底部到桿距離都是d，在導(dǎo)線和桿平面內(nèi)有一有界勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場的寬度為L，磁感強(qiáng)度為B，現(xiàn)在外力F作用下導(dǎo)線沿桿以恒定的速度v向右運(yùn)動(dòng)，t=0導(dǎo)線從時(shí)刻O點(diǎn)進(jìn)入磁場，直到全部穿過過程中，外力F所做功為（　�。�

• A． $\frac{{{B^2}{L^2}{v^2}}}{R}$
• B． $\frac{{2{B^2}{d^2}Lv}}{R}$
• C． $\frac{{3{B^2}{d^2}Lv}}{R}$
• D． $\frac{{3{B^2}{d^2}{v^2}}}{R}$

Answer 1

分析 金屬導(dǎo)線向右一共移動(dòng)了3L，把全過程分為三個(gè)階段，因?qū)Ь�切割磁力線的有效長度是隨正弦規(guī)律變化的，所以產(chǎn)生的電流也是按正弦規(guī)律變化的正弦交流電，分別求出在這三段中的有效電動(dòng)勢(shì)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)時(shí)間可求出每段運(yùn)動(dòng)過程上產(chǎn)生的內(nèi)能，外力F所做的功全部轉(zhuǎn)化為了內(nèi)能．

解答 解：金屬導(dǎo)線在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：e=Bvy，y為導(dǎo)線切割磁力線的有效長度．
在導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)的過程中，y隨時(shí)間的變化為：
y=$dsinπ\(zhòng)frac{L}{v}$=$dsinπ\(zhòng)frac{vt}{L}$=dsinωt，$\frac{πv}{L}$=ω
則導(dǎo)線從開始向右運(yùn)動(dòng)到L的過程中（如圖）有：${e}_{1}=Bvy=Bvdsinπ\(zhòng)frac{vt}{L}$=Bvdsinωt
則此過程中電動(dòng)勢(shì)的最大值為：E_1max=Bvd
此過程中電動(dòng)勢(shì)的有效值為：${E}_{1}=\frac{E1max}{\sqrt{2}}$
導(dǎo)線從L向右運(yùn)動(dòng)到2L的過程中（如圖）有：${e}_{2}=2Bvy=2Bvdsinπ\(zhòng)frac{vt}{L}$=2Bvdsinωt
即：E_2max=2Bvd
所以：${E}_{2}=2{E}_{1}=\frac{2Bvd}{\sqrt{2}}$
導(dǎo)線從2L向右運(yùn)動(dòng)到3L的過程與導(dǎo)線從開始向右運(yùn)動(dòng)L的過程相同（如圖），則在這三段中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間各為t，$t=\frac{L}{v}$
在整個(gè)過程中產(chǎn)生的內(nèi)能為：$Q=\frac{{E}_{1}^{2}t}{R}+\frac{{E}_{2}^{2}t}{R}+\frac{{E}_{1}^{2}t}{R}$=$\frac{2×\frac{{B}^{2}{v}^{2}ptkrpre^{2}}{2}×\frac{L}{v}}{R}+\frac{\frac{4{B}^{2}{v}^{2}gxu50uw^{2}}{2}×\frac{L}{v}}{R}$=$\frac{3{B}^{2}ovivnkx^{2}Lv}{R}$
因?qū)Ь�在拉力F的作用下勻速運(yùn)動(dòng)，所以拉力F所做的功全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，即：W=Q=$\frac{3{B}^{2}7d1ehyw^{2}Lv}{R}$
故選：C

點(diǎn)評(píng) 該題是以另外一種形式考察了交變電流的做功問題，解決此題的關(guān)鍵是把整個(gè)過程進(jìn)行合理分段，分別求出各段的電動(dòng)勢(shì)的有效值，即可求出全過程的電功了．難度較大．