Question

4．如圖所示，半徑R=0.5m的金屬圓筒a內(nèi)同軸放置一半徑稍小的金屬圓筒b，筒a外部有平行于圓筒軸線、范圍足夠大的勻強磁場，磁感應(yīng)強度B=0.2T．兩圓筒之間加有U=150V的電壓，使兩圓筒間產(chǎn)生強電場．一比荷為$\frac{q}{m}$=10⁴C/kg的帶正電粒子從緊貼b筒的c點由靜止釋放，穿過a筒上正對c點的小孔，垂直進入勻強磁場（不計粒子重力）．
（1）求帶電粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑；
（2）若粒子從小孔射出的同時，筒a沿逆時針方向繞軸線高速旋轉(zhuǎn)．為使粒子在不碰到圓筒a的情況下，還能返回到出發(fā)點c，則圓筒a旋轉(zhuǎn)的角速度應(yīng)滿足什么條件？（忽略筒a旋轉(zhuǎn)引起的磁場變化，不計粒子在兩筒間運動的時間）

Answer 1

分析 （1）粒子先加速后進入磁場做圓周運動，先由動能定理求得加速獲得的速度，再由牛頓第二定律求解軌道半徑．
（2）粒子從A點進入磁場，畫出其運動軌跡，由幾何關(guān)系求出軌跡所的對圓心角，根據(jù)周期性求解角速度．

解答 解：（1）設(shè)粒子從兩圓筒間電場中飛出時速度為v，根據(jù)動能定理得：$\frac{1}{2}m{v^2}=qU$
設(shè)粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑為r，$Bqv=\frac{{m{v^2}}}{r}$
聯(lián)立解得：$r=0.5\sqrt{3}m或（0.866m）$
（1）粒子從A點進入磁場，可做出其運動軌跡，如圖中虛線所示．利用幾何關(guān)系可算得：$∠AOB=\frac{2π}{3}$

設(shè)粒子在磁場中做圓周運動的周期為T，
從A到B所用時間為t，則：$T=\frac{2πm}{Bq}$
則 $t=\frac{5T}{6}$
設(shè)圓筒角速度為ω，為使粒子每次都能從圓筒上的小孔進入電場，則應(yīng)滿足：$ωt=2nπ+\frac{2π}{3}（n=0，1，2，3…）$
由以上各式解得：ω=（24n+8）×10²rad/s（n=0，1，2，3…）
答：
（1）帶電粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑為0.866m．
（2）圓筒a旋轉(zhuǎn)的角速度應(yīng)滿足的條件是：ω=（24n+8）×10²rad/s（n=0，1，2，3…）．

點評 此題考查粒子在磁場中做勻速圓周運動，要掌握牛頓第二定律的應(yīng)用，注意幾何關(guān)系的巧用，同時理解運動的周期性．