Question

20．如圖所示，在水平光滑的xOy平面內(nèi)，存在一個豎直向下的穩(wěn)定磁場，已知磁場的磁感應強度B在y軸方向按B=B₀+ky規(guī)律逐漸增大，k為已知常量．在坐標原點處有一個正方形的閉合導線框，在水平平面內(nèi)線框以沿x軸正方向的初速度v₀開始運動，同時受到一個沿y軸正方向的水平恒力F作用，線框運動過程中不發(fā)生轉(zhuǎn)動，已知閉合線框的邊長為a，質(zhì)量為m，電阻為R，試求：
（1）線框運動足夠長時間后速度的大�。�
（2）閉合線框的最大發(fā)熱功率．

Answer 1

分析 （1）線框運動過程中左右兩邊切割磁感線產(chǎn)生的感應電動勢抵消，回路產(chǎn)生的感應電動勢是上下兩邊產(chǎn)生的感應電動勢之差，左右兩邊受到的安培力合力為零，線框在水平方向做勻速直線運動，線框在豎直方向先做加速運動，足夠長時間后，線框所受合力為零，在豎直方向做勻速直線運動，應用平衡條件求出豎直方向的速度，然后求出線框的速度．
（2）當線框受到最大時，產(chǎn)生的感應電動勢最大，線框發(fā)熱功率最大，應用電功率公式可以求出最大發(fā)熱功率．

解答 解：（1）時間足夠長后，線框在豎直方向上最勻速直線運動，
線框產(chǎn)生的感應電動勢：E=E_上-E_下=B_上av_y-B_下av_y=（B₀+ky+ka）av_y-（B₀+ky）av_y=ka²v_y，
感應電流：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{k{a}^{2}{v}_{y}}{R}$，
安培力：F_安培=BIa=$\frac{Bk{a}^{3}{v}_{y}}{R}$，
方向做勻速直線運動，
由平衡條件得：F+F_安培下=F_安培上，
F=F_安培上-F_安培下=$\frac{（{B}_{上}-{B}_{下}）k{a}^{3}{v}_{y}}{R}$=$\frac{ka×k{a}^{3}{v}_{y}}{R}$=$\frac{{k}^{2}{a}^{4}{v}_{y}}{R}$，
解得，豎直分速度：v_y=$\frac{FR}{{k}^{2}{a}^{4}}$，
線框的速度大�。簐=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{{F}^{2}{R}^{2}}{{k}^{4}{a}^{8}}}$；
（2）線框的最大感應電動勢：
E_最大=ka²v_y=$\frac{FR}{k{a}^{2}}$，
閉合線框的最大發(fā)熱功率：
P=$\frac{{E}_{最大}^{2}}{R}$=$\frac{{F}^{2}R}{{k}^{2}{a}^{4}}$；
答：（1）線框運動足夠長時間后速度的大小為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{{F}^{2}{R}^{2}}{{k}^{4}{a}^{8}}}$；
（2）閉合線框的最大發(fā)熱功率為$\frac{{F}^{2}R}{{k}^{2}{a}^{4}}$．

點評 本題中磁場是非勻強磁場，線框四邊都切割磁感線，左右兩邊電動勢抵消，所受的安培力也抵消，根據(jù)E=BLv分別得到上下兩邊的電動勢，再求總電動勢，應用安培力公式、平衡條件與電功率公式可以解題．