Question

3．如圖所示，豎直平面內(nèi)有一直角坐標(biāo)系，在y軸的右側(cè)存在無(wú)限大的、場(chǎng)強(qiáng)大小為E、水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在y軸的左側(cè)同時(shí)存在一個(gè)垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、水平寬度為a的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．有一不計(jì)重力、帶正電、比荷為$\frac{q}{m}$的粒子由+x軸上某一位置無(wú)初速度釋放．
（1）若其恰好經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)左邊界上P點(diǎn)（-a，$\frac{a}{2}$），求粒子射出磁場(chǎng)Ⅰ的速度v₁的大小；
（2）若其恰好經(jīng)過(guò)y軸上的Q點(diǎn)（0，$\frac{a}{2}$），求粒子從釋放開(kāi)始第一次到達(dá)Q所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律，由洛倫茲力提供向心力，結(jié)合幾何關(guān)系，即可求解；
（2）畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，粒子可能在磁場(chǎng)中經(jīng)過(guò)半個(gè)圓周到Q點(diǎn)，也可能經(jīng)過(guò)2個(gè)、3個(gè)、…、n個(gè)半圓到Q點(diǎn)，結(jié)合幾何關(guān)系得到半徑的通項(xiàng)，再根據(jù)牛頓第二定律列式求解．

解答 解：（1）如圖所示，由幾何關(guān)系可知：
${r}_{1}^{2}$=a²+（r₁-$\frac{a}{2}$）²；
可知，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡半徑r₁=$\frac{5a}{4}$；
由牛頓第二定律，可得：Bqv₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
因此射出磁場(chǎng)的速度v₁=$\frac{5Bqa}{4m}$；
（2）粒子從釋放開(kāi)始到第一次到達(dá)Q點(diǎn)，可能軌跡如下圖所示，
由幾何關(guān)系，有：n•2r₂=$\frac{a}{2}$，其中n=1，2，3，…
故r₂=$\frac{a}{4n}$
粒子在磁場(chǎng)中${r}_{2}=\frac{m{v}_{2}}{qB}$，T=$\frac{2πm}{qB}$
粒子在電場(chǎng)中勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)${v}_{2}=\frac{Eq}{m}{t}_{1}$，
解得：${t}_{1}=\frac{Ba}{4nE}$
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)一個(gè)半圓的時(shí)間為$\frac{T}{2}$
從釋放開(kāi)始一直第一次到達(dá)Q所用的時(shí)間$t=（2n-1）{t}_{1}+n\frac{T}{2}$
解得：t=n$\frac{πm}{Bq}+\frac{（2n-1）Ba}{4nE}$  其中n=1，2，3，…
答：（1）若其恰好經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)左邊界上P點(diǎn)（-a，$\frac{a}{2}$），粒子射出磁場(chǎng)Ⅰ的速度v₁的大小為$\frac{5Bqa}{4m}$；
（2）若其恰好經(jīng)過(guò)y軸上的Q點(diǎn)（0，$\frac{a}{2}$），粒子從釋放開(kāi)始第一次到達(dá)Q所用的時(shí)間為t=n$\frac{πm}{Bq}+\frac{（2n-1）Ba}{4nE}$ 其中n=1，2，3，…．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，找出半徑，注意第二問(wèn)要考慮多解．