Question

15．在如圖所示的豎直平面直角坐標(biāo)系xOy中，虛線OM與x軸成45°角．在OM與x軸之間（包括x軸）的區(qū)域存在垂直于坐標(biāo)平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在OM與y軸之間（包括y軸）的區(qū)域，存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)（但電場(chǎng)強(qiáng)度大小未知）．有一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，以速度v沿x軸正方向從坐標(biāo)原點(diǎn)O射入磁場(chǎng)區(qū)域并發(fā)生偏轉(zhuǎn)，不計(jì)帶電粒子的重力和空氣阻力，粒子第二次進(jìn)入電場(chǎng)后恰好運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)并從此離開(kāi)電場(chǎng)和磁場(chǎng)．求：
（1）帶電粒子第一次離開(kāi)磁場(chǎng)的位置到O點(diǎn)的距離．
（2）粒子從最初由O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到恰好經(jīng)過(guò)O點(diǎn)并離開(kāi)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中，受到洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和向心力公式求出粒子的軌跡半徑，畫(huà)出軌跡，由幾何知識(shí)求粒子第一次離開(kāi)磁場(chǎng)的位置到O點(diǎn)的距離；
（2）分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程，求出粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，
根據(jù)牛頓第二定律有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{mv}{qB}$，
設(shè)帶電粒子第一次離開(kāi)磁場(chǎng)的位置為N點(diǎn)，如圖所示：

由幾何知識(shí)可知，帶電粒子第一次離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度方向沿y軸正方向，
該位置N到O點(diǎn)的距離為：NO=$\sqrt{2}$r=$\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$；
（2）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：T$\frac{2πm}{qB}$，則：v=$\frac{2πr}{T}$，
粒子第一次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁恰好為$\frac{1}{4}$周期，t₁=$\frac{1}{4}$T=$\frac{πm}{2qB}$，
粒子第一次離開(kāi)磁場(chǎng)后恰好沿y軸正方向第一次進(jìn)入電場(chǎng)，且在電場(chǎng)中先沿y軸正方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，
再沿y軸負(fù)方向從靜止做勻加速直線運(yùn)動(dòng)并經(jīng)過(guò)OM再次進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子第一次在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的兩過(guò)程對(duì)稱，
設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a，則粒子來(lái)回一次的時(shí)間為：t₂=$\frac{2v}{a}$，
粒子第二次進(jìn)入磁場(chǎng)后再以速度v做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為：t₃=$\frac{3}{4}$T=$\frac{3πm}{2qB}$，
粒子第二次離開(kāi)磁場(chǎng)后恰好沿x軸負(fù)方向第二次進(jìn)入電場(chǎng)并做類平拋運(yùn)動(dòng)，
粒子第二次在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)后恰好進(jìn)過(guò)O點(diǎn)．設(shè)粒子第二次在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₄，
則：2r=vt₄，2r=$\frac{1}{2}$at₄²，
解得：t₂=$\frac{2m}{qB}$，t₄=$\frac{2m}{qB}$，
綜合以上結(jié)果，可得粒子從最初由O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到恰好經(jīng)過(guò)O點(diǎn)離開(kāi)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的總時(shí)間為：t=t₁+t₂+t₃+t₄=$\frac{2（2+π）m}{qB}$；
答：（1）帶電粒子第一次離開(kāi)磁場(chǎng)的位置到O點(diǎn)的距離為$\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$．
（2）粒子從最初由O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到恰好經(jīng)過(guò)O點(diǎn)并離開(kāi)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的總時(shí)間為$\frac{2（2+π）m}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程、畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵；應(yīng)用牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可以解題，解題時(shí)注意幾何知識(shí)的應(yīng)用．