Question

6．一物體按規(guī)律x=bt³做直線運(yùn)動(dòng)，式中x為時(shí)間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)阻力與速度的平方成正比，試求物體由x=o運(yùn)動(dòng)到x=a時(shí)阻力所做的功．

Answer 1

分析 根據(jù)速度的表達(dá)式v=$\frac{x}{t}$，及媒質(zhì)阻力與速度的平方成正比，并對(duì)其積分，從而即可求解．

解答 解：物體的速度$v=\frac{dx}{dt}=（b{t}^{3}）$=3bt²．
媒質(zhì)阻力${F}_{zu}=k{v}^{2}=k（3b{t}^{2}）^{2}=9k^{2}{t}^{4}$，其中k為比例常數(shù)，k＞0．當(dāng)x=0時(shí)，t=0；當(dāng)x=a時(shí)，$t={t}_{1}=（\frac{a}）^{\frac{1}{3}}$，
又ds=vdt，故克服阻力所作的功為
W_zu=$∫{F}_{zu}ds={∫}_{0}^{{t}_{1}}k{v}^{2}•vdt$=$k{∫}_{0}^{{t}_{1}}（3b{t}^{2}）^{3}dt$=$\frac{27}{7}k^{3}{t}_{1}^{7}$=$\frac{27}{7}{k}^{3}\sqrt{{a}^{7}^{2}}$
答：物體由x=o運(yùn)動(dòng)到x=a時(shí)阻力所做的功-$\frac{27}{7}{k}^{3}\sqrt{{a}^{7}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查定積分在物理中的應(yīng)用：變力做功．