Question

8．如圖所示，在xOy平面內(nèi)的第一象限的圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B垂直向里的勻強(qiáng)磁場，圓心坐標(biāo)O₁（a，a），圓形區(qū)域分別與x軸、y軸相切于A、C兩點；在x＜0的區(qū)域內(nèi)存在場強(qiáng)為E、方向沿+x的勻強(qiáng)電場，其余區(qū)域是真空區(qū)域．質(zhì)量為m、電量為q的正粒子在xOy平面內(nèi)從A點沿A O₁方向射入磁場中，從C點沿x軸負(fù)方向射出，粒子重力忽略不計，試求：
（1）粒子從A點進(jìn)入磁場時的速率υ₀．
（2）若粒子仍以速率υ₀，沿與x軸正方向成30°角，由A點射入磁場，則該粒子到達(dá)電場中最遠(yuǎn)點的位置坐標(biāo)．
（3）在滿足（2）中的條件下，粒子由A點射入到第二次進(jìn)入真空區(qū)所經(jīng)歷的總時間．

Answer 1

分析 （1）正粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，畫出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解軌道半徑，根據(jù)牛頓第二定律列式求解磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，出磁場后做勻速直線運(yùn)動，進(jìn)入電場后在電場中做勻減速直線運(yùn)動，根據(jù)勻減速直線運(yùn)動的位移公式列式求解即可；
（3）結(jié)合t=$\frac{θ}{2π}•T$求出粒子在磁場中運(yùn)動的時間，然后由x=vt求出粒子在真空運(yùn)動的時間，最后由勻變速運(yùn)動的速度時間關(guān)系求出粒子在電場中運(yùn)動的時間，最后求和即可．

解答 解：（1）正粒子在xOy平面內(nèi)從A點沿A O₁方向射入磁場中，從C點沿x軸負(fù)方向射出，則粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度是90°，所以粒子運(yùn)動的軌跡的半徑與圓形磁場的半徑相等，即r=a；
由洛倫茲力提供向心力得：$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
所以：${v}_{0}=\frac{qBa}{m}$
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，出磁場后做勻速直線運(yùn)動，其運(yùn)動的軌跡如圖，
粒子的軌跡的圓心的位置：x_O2=a-r•sin30°=a-0.5a=0.5a；${y}_{O2}=r•cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
所以粒子運(yùn)動的軌跡與圓形磁場的邊界的交點D位于其圓心O₂點的上方，由圖可知，粒子出射的方向與y軸垂直．
D點的縱坐標(biāo)：${y}_{D}=r+rcos30°=a+\frac{\sqrt{3}}{2}a$
粒子垂直于y軸進(jìn)入電場后，做勻減速直線運(yùn)動，其加速度：${a}_{x}=\frac{qE}{m}$
粒子運(yùn)動的最大位移：$x=\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{x}}=\frac{\frac{{q}^{2}{B}^{2}{a}^{2}}{{m}^{2}}}{2×\frac{qE}{m}}=\frac{q{B}^{2}{a}^{2}}{2mE}$
則該粒子到達(dá)電場中最遠(yuǎn)點的位置坐標(biāo)為：（-$\frac{q{B}^{2}{a}^{2}}{2mE}$，$a+\frac{\sqrt{3}}{2}a$）
（3）由圖可知，粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度是180°-30°=150°
粒子在磁場中運(yùn)動的周期：$T=\frac{2πr}{{v}_{0}}=\frac{2πm}{qB}$
則粒子在磁場中運(yùn)動的時間：${t}_{1}=\frac{150°}{360°}•T=\frac{5}{12}•\frac{2πm}{qB}=\frac{5πm}{6qB}$
粒子在真空中運(yùn)動的時間：${t}_{2}=\frac{{x}_{O2}}{{v}_{0}}=\frac{0.5a}{\frac{qBa}{m}}=\frac{2m}{qB}$
粒子在電場中返回的時間：${t}_{3}=\frac{2{v}_{0}}{{a}_{x}}=\frac{\frac{2qBa}{m}}{\frac{qE}{m}}=\frac{2Ba}{E}$
粒子由A點射入到第二次進(jìn)入真空區(qū)所經(jīng)歷的總時間：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{5πm}{6qB}+\frac{2m}{qB}+\frac{2Ba}{E}$．
答：（1）粒子從A點進(jìn)入磁場時的速率是$\frac{qBa}{m}$．
（2）若粒子仍以速率υ₀，沿與x軸正方向成30°角，由A點射入磁場，則該粒子到達(dá)電場中最遠(yuǎn)點的位置坐標(biāo)（-$\frac{q{B}^{2}{a}^{2}}{2mE}$，$a+\frac{\sqrt{3}}{2}a$）．
（3）在滿足（2）中的條件下，粒子由A點射入到第二次進(jìn)入真空區(qū)所經(jīng)歷的總時間是$\frac{5πm}{6qB}+\frac{2m}{qB}+\frac{2Ba}{E}$．

點評 本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動規(guī)律、畫出運(yùn)動軌跡，然后結(jié)合牛頓第二定律、勻減速直線運(yùn)動的位移公式和幾何關(guān)系列式求解．