Question

20．在星球表面發(fā)射探測(cè)器，當(dāng)發(fā)射速度為v時(shí)，探測(cè)器可繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；當(dāng)發(fā)射速度達(dá)到$\sqrt{2}$v時(shí)，可擺脫星球引力束縛脫離該星球，己知地球、火星兩星球的質(zhì)量比約為10：1，半徑比約為2：1，下列說法正確的有（　　）

• A． 探測(cè)器在地球表面受到的引力比在火星表面的小
• B． 探測(cè)器在地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期比在火星表面的小
• C． 探測(cè)器脫離地球所需要的發(fā)射速度比脫離火星的發(fā)射速度小
• D． 探測(cè)器脫離星球的過程中引力勢(shì)能逐漸變小

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力定律比較探測(cè)器在火星表面和在地球表面的引力大小，根據(jù)萬有引力提供向心力得出各自周期的表達(dá)式，比較即可，${v}_{發(fā)射}^{\;}=\sqrt{2}v$，根據(jù)$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，求出繞火星和繞地球的運(yùn)行速度大小關(guān)系，從而得到發(fā)射速度大小關(guān)系，高度越大勢(shì)能越大．

解答 解：A、探測(cè)器繞星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由星球?qū)λ娜f有引力提供，設(shè)星球質(zhì)量為M，探測(cè)器質(zhì)量為m，運(yùn)行軌道半徑為r，星球半徑為R，根據(jù)萬有引力定律有：$F=G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$，在星球表面時(shí)r=R，所以探測(cè)器在地球表面和火星表面受到的引力之比為：$\frac{{F}_{地}^{\;}}{{F}_{火}^{\;}}=\frac{G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{地}^{2}}}{G\frac{{M}_{火}^{\;}m}{{R}_{火}^{2}}}=\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{火}^{\;}}\frac{{R}_{火}^{2}}{{R}_{地}^{2}}=\frac{10}{1}（\frac{1}{2}）_{\;}^{2}$=$\frac{5}{2}$，所以探測(cè)器在地球表面受到的引力比在火星表面的大，故A錯(cuò)誤．
B、探測(cè)器繞地球勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期${T}_{地}^{\;}$，繞火星勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期${T}_{火}^{\;}$，根據(jù)萬有引力提供向心力有
$G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{地}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{地}^{2}}{R}_{地}^{\;}$…①
$G\frac{{M}_{火}^{\;}m}{{R}_{火}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{火}^{2}}{R}_{火}^{\;}$…②
由①得${T}_{地}^{\;}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{地}^{3}}{G{M}_{地}^{\;}}}$…③
由②得${T}_{火}^{\;}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{火}^{3}}{G{M}_{火}^{\;}}}$…④
$\frac{{T}_{地}^{\;}}{{T}_{火}^{\;}}=\sqrt{\frac{{R}_{地}^{3}}{{R}_{火}^{3}}\frac{{M}_{火}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}}=\sqrt{\frac{8}{1}\frac{1}{10}}=\sqrt{\frac{4}{5}}＜1$，故B正確．
C、根據(jù)向心力公式有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
解得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，與探測(cè)器的質(zhì)量m無關(guān)，探測(cè)器繞地球表面和繞火星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小之比為$\frac{{v}_{地}^{\;}}{{v}_{火}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{火}^{\;}}\frac{{R}_{火}^{\;}}{{R}_{地}^{\;}}}=\sqrt{\frac{10}{1}\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$，又因?yàn)榘l(fā)射速度達(dá)到$\sqrt{2}v$時(shí)，探測(cè)器可擺脫星球引力束縛脫離該星球，所以探測(cè)器脫離地球的發(fā)射速度比脫離火星的發(fā)射速度大，故C錯(cuò)誤
D、探測(cè)器脫離星球的過程中，高度逐漸增大，其勢(shì)能逐漸增大，故D錯(cuò)誤
故選：B

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于衛(wèi)星類型，關(guān)鍵是建立模型，向心力是由萬有引力提供，向心力根據(jù)條件選擇合適的公式，注意在天體表面意味著軌道半徑等于該天體的半徑．