Question

16．山地滑雪是人們喜愛(ài)的一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)．一滑雪道ABC的底部是一個(gè)半徑為R的圓，圓與雪道相切于C點(diǎn)，C的切線沿水平方向，到水平雪地之間是高為H的峭壁，D是圓的最高點(diǎn)，如圖所示．運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)由靜止下滑，剛好經(jīng)過(guò)圓軌道最高點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一周，再滑到C點(diǎn)后被水平拋出，當(dāng)拋出時(shí)間為t時(shí)，迎面遭遇一股強(qiáng)風(fēng)，最終運(yùn)動(dòng)員落到了雪地上，落地時(shí)速度大小為υ．已知運(yùn)動(dòng)員連同滑雪裝備總質(zhì)量為m，重力加速度為g，不計(jì)遭遇強(qiáng)風(fēng)前的空氣阻力和雪道及道的摩擦阻力，求：
（1）運(yùn)動(dòng)員剛好能過(guò)D點(diǎn)，AC的高度差h；
（2）運(yùn)動(dòng)員剛遭遇強(qiáng)風(fēng)時(shí)的速度大小及距地面的高度；
（3）強(qiáng)風(fēng)對(duì)運(yùn)動(dòng)員所做的功．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求的最高點(diǎn)的速度，由動(dòng)能定理求的高度
（2）運(yùn)動(dòng)員做平拋運(yùn)動(dòng)，故在豎直方向自由落體運(yùn)動(dòng)，再結(jié)合動(dòng)能定理即可求得
（3）由動(dòng)能定理即可求得做功

解答 解：（1）運(yùn)動(dòng)員剛好做圓周運(yùn)動(dòng)的速度滿(mǎn)足$mg=\frac{{mv}_{D}^{2}}{R}$
由動(dòng)能定理得mg（h-2R）=$\frac{1}{2}{mv}_{D}^{2}$
聯(lián)立解得h=$\frac{5}{2}R$
（2）運(yùn)動(dòng)員做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向的速度v′=gt
從A到C由動(dòng)能定理得$mg•\frac{5}{2}R=\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+v{′}^{2}}$
下落高度為${h}_{1}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
距地面高速為${h}_{2}=H-{h}_{1}=H-\frac{1}{2}g{t}^{2}$
（3）由動(dòng)能定理得${W}_{f}+mg（H+\frac{5}{2}R）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
${W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-mg（H+\frac{5}{2}R）$
答：（1）運(yùn)動(dòng)員剛好能過(guò)D點(diǎn)，AC的高度差h$\frac{5}{2}R$；
（2）運(yùn)動(dòng)員剛遭遇強(qiáng)風(fēng)時(shí)的速度大小為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+v{′}^{2}}$及距地面的高度$H-\frac{1}{2}g{t}^{2}$；
（3）強(qiáng)風(fēng)對(duì)運(yùn)動(dòng)員所做的功$\frac{1}{2}m{v}^{2}-mg（H+\frac{5}{2}R）$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了定能定理、牛頓第二定律，同時(shí)本題又是一個(gè)多過(guò)程問(wèn)題，關(guān)鍵理清物體的運(yùn)動(dòng)，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解