Question

2．如圖所示，一玩滾軸溜冰的小孩（可視作質(zhì)點(diǎn)）質(zhì)量為m=30kg，他在左側(cè)平臺(tái)上滑行一段距離后作平拋運(yùn)動(dòng)，恰能無(wú)碰撞地由A點(diǎn)進(jìn)入豎直圓弧軌道（提示：即小孩在A處速度方向恰好沿圓弧軌道切線），并沿軌道下滑，A、B為圓弧兩端點(diǎn)，其連線水平．已知AO部分圓弧光滑，OB部分粗糙，且圓弧半徑為R=1.0m，對(duì)應(yīng)圓心角為θ=106°，平臺(tái)與AB連線的高度差為h=0.8m．（計(jì)算中取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）求：
（1）小孩作平拋運(yùn)動(dòng)的初速度；
（2）小孩運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最低點(diǎn)O時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）若小孩運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道B點(diǎn)時(shí)，速度恰好為零，求小孩由O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過(guò)程中克服摩擦力所做的功W_f．

Answer 1

分析 （1）小孩作平拋運(yùn)動(dòng)，恰能沿圓弧從A點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道時(shí)，小孩在A處速度方向恰好沿圓弧軌道切線方向．根據(jù)豎直高度求出豎直分速度，從而根據(jù)平行四邊形定則求出初速度的大小．
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小孩運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度大小，通過(guò)牛頓第二定律求出支持力的大小，從而根據(jù)牛頓第三定律求出小孩對(duì)軌道的壓力．
（3）小孩由O到B的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理可求得克服摩擦力所做的功W_f．

解答 解：（1）無(wú)碰撞地進(jìn)入豎直圓軌道，說(shuō)明在A點(diǎn)時(shí)的速度方向恰沿圓軌道的切線，即速度方向與水平方向成 $\frac{1}{2}$θ角．
設(shè)平拋初速為 υ₀，在A處速度為υ_A，其豎直分量為υ_y，如圖所示．

則 $υ_y^2=2gh$
tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$       
得${υ_0}=\frac{{\sqrt{2gh}}}{{tan\frac{θ}{2}}}=\frac{4}{{tan{{53}°}}}=3m/s$（
（2）由題知AO部分圓弧光滑，則從拋出至到達(dá)O點(diǎn)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，設(shè)O點(diǎn)處速度為υ_m，以O(shè)點(diǎn)為零勢(shì)能面，則：
  $\frac{1}{2}mυ_0^2+mg[h+R（1-cos\frac{θ}{2}）]=\frac{1}{2}mυ_m^2$
解得 ${υ_m}=\sqrt{33}m/s$
在O點(diǎn)處，設(shè)小孩受支持力N，則由牛頓第二定律知：N-mg=$m\frac{υ_m^2}{R}$
由牛頓第三定律知小孩對(duì)軌道壓力Nˊ=N，解得 Nˊ=1290N 
（3）由O到B，由動(dòng)能定理得：$0-\frac{1}{2}mυ_m^2=-mgR（1-cos\frac{θ}{2}）-{W_f}$
解得  W_f=375J
答：
（1）小孩作平拋運(yùn)動(dòng)的初速度是3m/s；
（2）小孩運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最低點(diǎn)O時(shí)對(duì)軌道的壓力是1290N；
（3）小孩由O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過(guò)程中克服摩擦力所做的功W_f是375J．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)，知道平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源是解決本題的關(guān)鍵．