Question

20．如圖所示，某娛樂節(jié)目過程簡(jiǎn)化如下，腳上固定有滑盤的選手沿滑道滑入一長(zhǎng)度為L(zhǎng)的水平傳送帶的右端A，此時(shí)速度為v₀，傳送帶一恒定速度v（v＜v₀）向左傳送．當(dāng)滑道傳動(dòng)帶左端B時(shí)，選手抓住豎直懸掛的繩子而向左擺起．?dāng)[至左側(cè)最高點(diǎn)C時(shí)，選手用力將手中的包袱沿垂直于繩子方向拋出．之后，選手隨繩子擺回傳送帶左端，即刻放開繩子在傳送帶上滑行．選手（包括滑盤）和包袱的質(zhì)量分別為m和km（0＜k＜1），均可看作質(zhì)點(diǎn)，滑盤與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，繩子的懸掛點(diǎn)到選手的距離L．
不考慮空氣阻力和繩的質(zhì)量，重力加速度為g，
（1）求選手在傳送帶上滑行的加速度a；
（2）求向左運(yùn)動(dòng)滑到B點(diǎn)時(shí)的速度v₁；
（3）要確保拋出包袱后，選手最終能再次滑回A點(diǎn)，則包袱拋出時(shí)的速度v₂需滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f=μmg求出摩擦力，然后由牛頓第二定律即可求出加速度；
（2）選手從A到B的過程中，摩擦力做功，速度減小，可能一直做減速運(yùn)動(dòng)，也可能先減速后勻速，要討論，然后結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可解答；
（3）先求出選手從B回到A的條件，然后結(jié)合動(dòng)量守恒定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式分別討論即可．

解答 解：（1）選手在傳送帶上受到重力、支持力和摩擦力的作用，沿水平方向：ma=f=μmg
所以：a=$\frac{μmg}{m}=μg$
（2）選手從A到B的過程中，摩擦力做功，速度減小，可能一直做減速運(yùn)動(dòng)，也可能先減速后勻速；
若一直減速，則：$-2aL={v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}$
所以：${v}_{1}=\sqrt{{v}_{0}^{2}-2aL}=\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μgL}$，
若先減速后勻速，則選手到達(dá)B的速度與傳送帶的速度相等，即：v₁=v
（3）若選手能從B點(diǎn)返回A點(diǎn)，恰好返回A點(diǎn)時(shí)，到達(dá)A的速度恰好為0，則選手在B點(diǎn)的速度v_B滿足：
$0-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}=-fL$
所以：${v}_{B}=\sqrt{2μgL}$，
如果選手的初速度v₀足夠大，或傳送帶的速度足夠大，v₁≥v_B，則選手只需要把包裹丟掉即可．
若選手的初速度比較小，或傳送帶的速度比較小，v₁＜v_B，選手到達(dá)C時(shí)，C點(diǎn)的高度h：$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
選手用力將手中的包袱沿垂直于繩子方向拋出的瞬間，在垂直于繩子的方向可以看做選手與包裹的動(dòng)量守恒，選取包裹運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎�方向，則：
km•v₂-mv′=0
所以：$v′=\frac{km{v}_{2}}{m}=k{v}_{2}$
選手從C回到B的過程中機(jī)械能守恒，得：
$\frac{1}{2}mv{′}^{2}+mgh=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
聯(lián)立解得：${v}_{2}=\sqrt{\frac{3μgL-{v}_{0}^{2}}{{k}^{2}}}$
答：（1）選手在傳送帶上滑行的加速度是μg；
（2）向左運(yùn)動(dòng)滑到B點(diǎn)時(shí)的速度是v或$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μgL}$；
（3）要確保拋出包袱后，選手最終能再次滑回A點(diǎn)：
如果選手的初速度v₀足夠大，或傳送帶的速度足夠大，v₁≥v_B，則選手只需要把包裹丟掉即可．
若選手的初速度比較小，或傳送帶的速度比較小，v₁＜v_B，選手到達(dá)C時(shí)，包袱拋出時(shí)的速度v₂需滿足大于或等于$\sqrt{\frac{3μgL-{v}_{0}^{2}}{{k}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題將傳送帶問題以及機(jī)械能守恒定律．動(dòng)量守恒定律等半徑難的知識(shí)點(diǎn)組合在一起，尤其是選手要返回，存在的可能的情況比較多，很容易出現(xiàn)疏漏．