Question

16．如圖所示，用一根長(zhǎng)為l=1m的細(xì)線，一端系一質(zhì)量為m=1kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ=37°，當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω時(shí)，細(xì)線的張力為T(mén)．（g取10m/s²，結(jié)果可用根式表示）求：
（1）若要小球離開(kāi)錐面，則小球的角速度ω₀至少為多大？
（2）若細(xì)線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω′為多大？

Answer 1

分析 （1）小球剛要離開(kāi)錐面時(shí)的速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界角速度ω₀．
（2）若細(xì)線與豎直方向的夾角為60°時(shí)，小球離開(kāi)錐面，由重力和細(xì)線拉力的合力提供向心力，運(yùn)用牛頓第二定律求解．

解答 解：（1）若要小球剛好離開(kāi)錐面，則小球受到重力和細(xì)線拉力如圖所示．小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓在水平面上，故向心力水平．
在水平方向運(yùn)用牛頓第二定律及向心力公式得：
  mgtan θ=mω${\;}_{0}^{2}$lsin θ
解得：ω${\;}_{0}^{2}$=$\frac{g}{lcosθ}$，即ω₀=$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$=$\sqrt{12.5}$ rad/s．
（2）同理，當(dāng)細(xì)線與豎直方向成60°角時(shí)，由牛頓第二定律及向心力公式有：
  mgtan α=mω′²lsin α
解得：ω′²=$\frac{g}{lcosα}$，即ω′=$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$ rad/s．
答：
（1）小球的角速度ω₀至少為$\sqrt{12.5}$ rad/s．　
（2）小球的角速度ω′為2$\sqrt{5}$ rad/s．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于判斷小球是否離開(kāi)圓錐體表面，不能直接應(yīng)用向心力公式求解．