Question

5．2014年5月10日天文愛好者迎來了“土星沖日”的美麗天象．“土星沖日”是指土星和太陽正好分處地球的兩側(cè)，三者幾乎成一條直線．若土星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的方向相同，公轉(zhuǎn)軌跡都近似為圓．設(shè)土星公轉(zhuǎn)周期為T₁，公轉(zhuǎn)半徑為R₁；地球公轉(zhuǎn)周期為T₂，公轉(zhuǎn)半徑為R₂，萬有引力常量為G．忽略土星與地球之間的引力作用，從發(fā)生“土星沖日”天象開始計(jì)時(shí)，下列說法正確的是（　�。�

• A． 土星公轉(zhuǎn)速度大于地球公轉(zhuǎn)速度
• B． 地球與土星相距最近經(jīng)歷的時(shí)間至少為$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{1}-{T}_{2}}$
• C． 太陽的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{{R}_{1}}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}$
• D． 土星與地球公轉(zhuǎn)的向心加速度之比為$\frac{{R}_{1}^{2}}{{R}_{2}^{2}}$

Answer 1

分析 A、根據(jù)環(huán)繞速度公式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$列式比較線速度大小；
B、兩次發(fā)生“土星沖日”的美麗天象的時(shí)間內(nèi)，地球多轉(zhuǎn)動(dòng)1圈；
C、對(duì)地球，根據(jù)萬有引力等于向心力列式求解太陽的質(zhì)量；
D、根據(jù)萬有引力等于向心力列式求解加速度之比．

解答 解：A、地球和土星均繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)環(huán)繞速度公式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，軌道半徑越大，線速度越小，故土星公轉(zhuǎn)速度小于地球公轉(zhuǎn)速度，故A錯(cuò)誤；
B、兩次發(fā)生“土星沖日”的美麗天象的時(shí)間內(nèi)，地球多轉(zhuǎn)動(dòng)1圈，故：
（ω₂-ω₁）t=2π
即：（$\frac{2π}{{T}_{2}}$-$\frac{2π}{{T}_{1}}$）t=2π
解得：t=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{1}-{T}_{2}}$
故B正確；
C、地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，有：
$G\frac{Mm}{{R}_{2}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}{R}_{2}$
解得：
M=$\frac{4{π}^{2}{{R}_{2}}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}$
故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=ma$，有：a=$\frac{GM}{{R}^{2}}$∝$\frac{1}{{R}^{2}}$；
故土星與地球公轉(zhuǎn)的向心加速度之比為：
$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{{R}_{2}^{2}}{{R}_{1}^{2}}$
故D錯(cuò)誤；
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題是萬有引力與圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)相綜合的問題，關(guān)鍵是明確行星的動(dòng)力學(xué)原理，根據(jù)萬有引力等于向心力和向心力的不同表達(dá)形式列式分析．