Question

15．天文觀測(cè)到某行星有一顆衛(wèi)星以半徑為r的圓軌道環(huán)繞行星做周期為T(mén)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知萬(wàn)有引力恒量為G，求：
（1）該行星的質(zhì)量M是多少？
（2）如果該行星的半徑是衛(wèi)星軌道半徑的$\frac{1}{10}$，則行星表面處的重力加速度g有多大？

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合周期和軌道半徑求出行星的質(zhì)量．根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出行星表面的重力加速度．

解答 解：（1）根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，行星的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）行星的半徑R=$\frac{1}{10}r$，根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，
g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$．
答：（1）行星的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）行星表面處的重力加速度為$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力等于重力，2、萬(wàn)有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．