Question

4．如圖甲所示，水平軌道光滑，小球質(zhì)量為m，帶電荷量為+q，可看做質(zhì)點(diǎn)，空問存在不斷變化的電場和磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖乙所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=$\frac{2πm}{q}$，方向垂直紙面向里．電場強(qiáng)度在第1s、3s、5s、…內(nèi)方向水平向右，大小為E=$\frac{mg}{q}$，在第2s、4s、6s、…內(nèi)方向豎直向上，大小也為E=$\frac{mg}{q}$．小球從零時(shí)刻開始在A點(diǎn)由靜止釋放，求：
（l）t=l.5s時(shí)，小球與A點(diǎn)的直線距離大�。�
（2）在A點(diǎn)前方軌道正上方高度為h=$\frac{2g}{π}$位置有圓環(huán)水平放置，若帶電小球恰好可以從圓環(huán)中心豎直穿過，求圓環(huán)中心與A點(diǎn)的水平距離大�。�

Answer 1

分析 （1）小球在第1s內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在第2s內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小球的水平位移，由牛頓第二定律求出小球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，然后求出小球與A點(diǎn)間的距離．
（2）小球在奇數(shù)秒內(nèi)做加速運(yùn)動(dòng)，在偶數(shù)秒內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意求出圓環(huán)位置與A點(diǎn)間的水平距離．

解答 解：（1）在第1s內(nèi)，小球向右做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
1s末的速度：v₁=at=$\frac{qE}{m}$t=$\frac{q×\frac{mg}{q}}{m}$×1=g，
1s內(nèi)的位移：x₁=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²=$\frac{1}{2}$$\frac{q×\frac{mg}{q}}{m}$×1²=$\frac{1}{2}$g，
在第內(nèi)s內(nèi)，小球受到的重力mg與電場力F=qE=mg，大小相等、方向相反，合力為零，
小球在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，解得：r₁=$\frac{g}{2π}$ m，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$=1s，
t=1.5s時(shí)，小球做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)最高點(diǎn)，距水平面的高度為2r₁，
小球與A點(diǎn)間的距離：s=$\sqrt{{x}_{1}^{2}+（2{r}_{1}）^{2}}$，解得：s=$\frac{g}{2π}$$\sqrt{{π}^{2}+4}$ m；
（2）第3s內(nèi)小球向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度：a=$\frac{qE}{m}$=g，
第3s末，速度：v₂=v₁+at=2g，x₂=v₁t+$\frac{1}{2}$at²=$\frac{3}{2}$g，
在第4s內(nèi)，重力與電場力平衡，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
周期：T=$\frac{2πm}{qB}$=1s，軌道半徑：r₂=$\frac{m{v}_{2}}{qB}$=2×$\frac{g}{2π}$=$\frac{g}{π}$，
由此可知，在奇數(shù)秒內(nèi)小球向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在偶數(shù)秒內(nèi)小球在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
在圓軌道最低點(diǎn)，小球的速度：v₁=g，v₂=2g，v₃=3g …
圓的軌道半徑為：r₁=$\frac{g}{2π}$，r₂=2×$\frac{g}{2π}$，r₃=3×$\frac{g}{2π}$  …
在奇數(shù)秒內(nèi)的位移：x₁=$\frac{g}{2}$，x₂=$\frac{3g}{2}$，x₃=$\frac{5g}{2}$   …
帶電小球恰好可以從圓環(huán)中心豎直穿過，則圓軌道半徑：r=h=$\frac{2g}{π}$=4×$\frac{g}{2π}$=r₄，
如果小球豎直向上穿過圓環(huán)，圓環(huán)與A點(diǎn)的水平距離：x=x₁+x₂+x₃+x₄+r₄=（8g+$\frac{2g}{π}$）
如果小球豎直向下穿過圓環(huán)，圓環(huán)與A點(diǎn)的水平距離：x=x₁+x₂+x₃+x₄-r₄=（8g-$\frac{2g}{π}$）
答：（l）t=l.5s時(shí)，小球與A點(diǎn)的直線距離大小為$\frac{g}{2π}$$\sqrt{{π}^{2}+4}$ m；
（2）圓環(huán)中心與A點(diǎn)的水平距離大小為（8g+$\frac{2g}{π}$）m或（8g-$\frac{2g}{π}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了小球在電場與磁場中的運(yùn)動(dòng)，小球在奇數(shù)秒內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在偶數(shù)秒內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分析求出小球的運(yùn)動(dòng)過程是正確解題的關(guān)鍵．