Question

11．一絕緣軌道由一段足夠長的水平光滑的直桿MN和一半徑為R的光滑半圓環(huán)MAP組成，固定在豎直平面內(nèi)．現(xiàn)將一質(zhì)量為m的帶正電荷的小環(huán)套在MN桿上，由D點(diǎn)靜止釋放，剛好能到達(dá)P點(diǎn)．已知小環(huán)所受的電場力為重力的 $\frac{1}{2}$．

（1）求DM間的距離．
（2）小環(huán)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)受到軌道的支持力．
（3）若將小環(huán)由M點(diǎn)右側(cè)Q處靜止釋放，小環(huán)從P處射出后第一次落點(diǎn)在水平直桿MN上，求Q點(diǎn)距M點(diǎn)額最近距離．

Answer 1

分析 （1）小球剛好到達(dá)P點(diǎn)時(shí)，速度為零，對小球從D點(diǎn)到P點(diǎn)過程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式求得．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出A點(diǎn)的速度，結(jié)合徑向的合力提供向心力求出彎桿對小環(huán)的作用力大�。�
（3）由水平向與豎直向分別進(jìn)行分析求解．

解答 解：（1）小球剛好到達(dá)P點(diǎn)時(shí)，速度為零，對小球從D點(diǎn)到P點(diǎn)過程，由動(dòng)能定理得
   qEx-2mgR=0-0
  又由題意，qE=$\frac{1}{2}$mg
   聯(lián)立解得，x=4R
（2）從P到A點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：$qER+mgR=\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
在A點(diǎn)，由牛頓第二定律得：$N-qE=\frac{m{v}_{A}^{2}}{R}$  
得：N=$\frac{7}{2}mg$
（3）在水平向?yàn)閯驕p速運(yùn)動(dòng)，x=v₀t+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=v₀t+（-$\frac{1}{2}g$）t² 剛好落到M點(diǎn)時(shí)，x=0=v₀t+（-$\frac{1}{2}g$）t² 
　　　         豎直向?yàn)樽杂陕潴w，2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
　     　解得：${v}_{0}=\sqrt{gR}$
  高Q點(diǎn)到M點(diǎn)的距離為L，則由動(dòng)能定理：EqL-mg2R=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$  可得：L=5R
答：（1）DM間的距離為4R．
（2）小環(huán)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)受到軌道的支持力為$\frac{7}{2}mg$．
（3）Q點(diǎn)距M點(diǎn)額最近距離為5R

點(diǎn)評 對于動(dòng)能定理應(yīng)用，要靈活選取研究過程，結(jié)合臨界條件進(jìn)行研究是常用的思路．