Question

2．如圖所示，從A點(diǎn)以v₀=4m/s的水平速度拋出一質(zhì)量為m=1kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），當(dāng)物塊運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)，恰好沿切線方向進(jìn)入固定的光滑圓弧軌道BC，經(jīng)圓弧軌道后滑上與C點(diǎn)等高、靜止在粗糙水平面的長(zhǎng)木板上，圓弧軌道C端切線水平．已知長(zhǎng)木板的質(zhì)量M=4kg，A、B兩點(diǎn)距C點(diǎn)的高度分別為H=0.5m，h=0.15m，R=0.75m，物塊與長(zhǎng)木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.5，長(zhǎng)木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.2，g=10m/s²，求：
（1）小物塊運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)的速度大小和方向．
（2）小物塊滑至C點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力．
（3）長(zhǎng)木板至少為多長(zhǎng)，才能保證小物塊不滑出長(zhǎng)木板？
（4）若地面光滑，則長(zhǎng)木板至少為多長(zhǎng)，才能保證小物塊不滑出長(zhǎng)木板？

Answer 1

分析 （1）已知平拋的拋出高度和落地速度方向，求落地的速度大小和方向，用運(yùn)動(dòng)的合成與分解求解；
（2）小物塊在BC間做圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，在C點(diǎn)時(shí)軌道支持力和重力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，據(jù)此求解即可；
（3）當(dāng)物塊在長(zhǎng)木板上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于木塊對(duì)木板的摩擦力小于地面對(duì)木板的摩擦力，所以木板處于靜止?fàn)顟B(tài)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出長(zhǎng)木板的至少長(zhǎng)度．
（4）若地面光滑，根據(jù)牛頓第二定律分別求出物塊和木板的加速度，結(jié)合速度相等時(shí)，抓住位移之差等于木板的至少長(zhǎng)度進(jìn)行求解．

解答 解：（1）物塊做平拋運(yùn)動(dòng)：H-h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
設(shè)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)豎直分速度為v_y則：v_y=gt
$v=\sqrt{{v}_{0}+{{v}_{y}}^{2}}$，代入數(shù)據(jù)解得v=$\sqrt{23}m/s$
方向與水平面的夾角為θ：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$，
（2）從A至C點(diǎn)，由動(dòng)能定理得mgH=$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
設(shè)C點(diǎn)受到的支持力為F_N，則有F_N-mg=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得${v}_{2}=\sqrt{26}m/s≈5.1m/s$，
F_N=44.7N
根據(jù)牛頓第三定律可知，物塊m對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力大小為44.7N
（3）由題意可知小物塊m對(duì)長(zhǎng)木板的摩擦力f=μ₁mg=5N
長(zhǎng)木板與地面間的最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力f′=μ₂（M+m）g=10N
因f＜f′，所以小物塊在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)木板靜止不動(dòng)
小物塊在長(zhǎng)木板上做勻減速運(yùn)動(dòng)，至長(zhǎng)木板右端時(shí)速度剛好為0
則長(zhǎng)木板長(zhǎng)度至少為l=$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2{μ}_{1}g}=\frac{26}{10}m=2.6m$．
（4）物塊做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的加速度大小${a}_{1}={μ}_{1}g=0.5×10m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$，
長(zhǎng)木板的加速度大小${a}_{2}=\frac{{μ}_{1}mg}{M}=\frac{0.5×10}{4}m/{s}^{2}=1.25m/{s}^{2}$，
則兩者速度相等時(shí)有：v₂-a₁t=a₂t，解得t=$\frac{{v}_{2}}{{a}_{1}+{a}_{2}}=\frac{5.1}{5+1.25}s≈0.8s$，
此時(shí)物塊的位移${x}_{1}={v}_{2}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}=5.1×0.8-\frac{1}{2}×5×0.64m$=2.48m
長(zhǎng)木板的位移${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=\frac{1}{2}×1.25×0.64m=0.4m$，
則長(zhǎng)木板的至少長(zhǎng)度l′=x₁-x₂=2.48-0.4m=2.08m．
答：（1）小物塊運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\sqrt{23}m/s$m/s，方向與水平面夾角的正切值為$\frac{\sqrt{7}}{4}$；
（2）小物塊滑動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力F_N=47.3N；
（3）長(zhǎng)木板至少為2.6m，才能保證小物塊不滑出長(zhǎng)木板．
（4）若地面光滑，則長(zhǎng)木板至少為2.08m，才能保證小物塊不滑出長(zhǎng)木板．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要理清物塊在多個(gè)不同運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，掌握物塊各個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．