Question

9．如圖所示，長(zhǎng)為2L的CDE光滑絕緣軌道與水平面成θ角，D為軌道中點(diǎn)．兩塊帶等量異種電荷的平行金屬板AB與軌道垂直，分別放置在D、E兩處，A板上有一小孔（忽略它對(duì)兩板間電場(chǎng)分布的影響），兩板間有場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q（q＜0）的小球a自靠近B板處無(wú)初速釋放，穿過(guò)小孔后（不與金屬板A接觸）與軌道C端相同不帶電金屬小球b碰撞，碰撞過(guò)程中無(wú)能量損失．已知小球b在下一次碰撞前會(huì)散盡所有的電荷．求：
（1）小球a第一次到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）小球第n次向上穿過(guò)A板運(yùn)動(dòng)能到達(dá)的位置．

Answer 1

分析 （1）小球向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，重力做正功，電場(chǎng)力做負(fù)功，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，可求得小球a第一次到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度．
（2）運(yùn)用動(dòng)能定理，對(duì)小球a第一次返回、第二次下滑、第二次返回、第三次下滑…等多次列式，總結(jié)規(guī)律，求解即可．

解答 解：（1）首次到達(dá)C點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理可知
 mgsinθx2L-EqL=$\frac{1}{2}$mv₁²-0…①
得 v₁=$\sqrt{\frac{2（2mgLsinθ-EqL）}{m}}$
（2）首次返回到最高點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理可知
-mgsinθL+（E•$\frac{q}{2}$-mgsinθ）l₁=0-$\frac{1}{2}$mv₁²…②
第二次下滑，由動(dòng)能定理可知
 mgsinθl₁+mgsinθL-E•$\frac{q}{2}$l₁=$\frac{1}{2}$mv₂²-0…③
第二次返回到最高點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理可知
-mgsinθL+（E•$\frac{q}{{2}^{2}}$-mgsinθ）l₂=0-$\frac{1}{2}$mv₂²…④
…
聯(lián)立各式得 l_n=$\frac{（mgsinθ-qE）L}{mgsinθ-\frac{qE}{2n}}$
答：
（1）小球a第一次到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度是$\sqrt{\frac{2（2mgLsinθ-EqL）}{m}}$；
（2）小球第n次向上穿過(guò)A板運(yùn)動(dòng)能到達(dá)的位置離C點(diǎn)距離為$\frac{（mgsinθ-qE）L}{mgsinθ-\frac{qE}{2n}}$．

點(diǎn)評(píng) 了解研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解決問(wèn)題的前提，本題要多次運(yùn)用動(dòng)能定理，采用歸納法研究小球a上滑距離的數(shù)學(xué)規(guī)律，從而得到通項(xiàng)表達(dá)式．