Question

16．為了探測X星球，載著登陸艙的探測飛船在該星球中心為圓心，半徑為r₁的圓軌道上運動，周期為T₁，總質(zhì)量為m₁．隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r₂的圓軌道上運動，此時登陸艙的質(zhì)量為m₂．求：
（1）X星球的質(zhì)量；
（2）登陸艙在r₁與r₂軌道上運動的速度大小之比v₁：v₂；
（3）登陸艙在半徑為r₂軌道上做圓周運動的周期．

Answer 1

分析 研究飛船繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質(zhì)量；研究登陸艙繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式表示出線速度和周期；再通過不同的軌道半徑進行比較．

解答 解：（1）研究飛船繞星球做勻速圓周運動，
根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式：$G\frac{M{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}={m}_{1}{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$，
解得：M=$\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$．
（2）研究登陸艙繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
在半徑為r的圓軌道上運動：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，表達式里M為中心體星球的質(zhì)量，R為運動的軌道半徑；
所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運動時的速度大小之比為：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$
（3）研究登陸艙繞星球做勻速圓周運動，
根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$，得出：T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$；
表達式里M為中心體星球的質(zhì)量，R為運動的軌道半徑．
所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運動時的周期大小之比為$\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}}$，所以周期為T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}}$；
答：（1）X星球的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$；
（2）登陸艙在r₁與r₂軌道上運動的速度大小之比為$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$；
（3）登陸艙在半徑為r₂軌道上做圓周運動的周期為T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}}$．

點評 本題主要考查萬有引力提供向心力這個關(guān)系，要注意向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．