Question

11．如圖所示，MN、PH為兩根豎直放置、不計電阻的弧形金屬導(dǎo)軌．NH間有阻值R=1Ω的電阻，整個裝置處于磁感強度B=0.5T的勻強磁場中，一根質(zhì)量為m=0.1kg、電阻不計的金屬棒水平放置在位置I處，與導(dǎo)軌相交于A、B兩點，A、B間距L₁=0.5m，現(xiàn)給金屬棒一個大小為v₁=4m/s豎直向上的速度，使它向上做無摩擦的勻減速直線運動，滑動時金屬棒與導(dǎo)軌始終接觸良好，并保持水平狀態(tài)．當金屬棒上滑到Ⅱ時，速度方向不變，大小為1m/s，與導(dǎo)軌交于C、D點．試求：
（1）金屬棒豎直向上運動時的加速度a的大小
（2）C、D兩點間的距離L₂
（3）金屬棒從Ⅰ到Ⅱ的過程中，電流對電阻所做的功W．

Answer 1

分析 （1）金屬棒向上做勻減速運動，受到向下的重力和安培力作用，可知安培力應(yīng)是恒力，根據(jù)金屬棒速度為v₁=4m/s的狀態(tài)，求出安培力的大小，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度的大�。�
（2）根據(jù)牛頓第二定律和安培力與速度的關(guān)系式，求解C、D兩點間的距離L₂；
（3）由勻變速運動的規(guī)律求出位置Ⅰ和Ⅱ間的高度，根據(jù)功能關(guān)系求解電流對電阻所做的功W．

解答 解：（1）當金屬棒速度為v₁=4m/s時，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為 E₁=BL₁v₁；
回路中的感應(yīng)電流 I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$
金屬棒所受的安培力大小為 F₁=BI₁L₁；
根據(jù)牛頓第二定律得：mg+F=ma
聯(lián)立以上各式得：a=g+$\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}{v}_{1}}{mR}$=10+$\frac{0．{5}^{2}×0．{5}^{2}×4}{0.1×1}$=12.5m/s²
（2）在位置Ⅱ，同理可得：
  mg+$\frac{{B}^{2}{L}_{2}^{2}{v}_{2}}{R}$=ma
則 L₂=$\sqrt{\frac{mR（a-g）}{{{B}^{2}v}_{2}}}$=1m       
（3）位置Ⅰ和Ⅱ間的高度 h=$\frac{{v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}}{2a}$=$\frac{{4}^{2}-{1}^{2}}{2×12.5}$m=0.6m
根據(jù)功能關(guān)系得電流對電阻所做的功  W=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²-mgh=$\frac{1}{2}$×0.1×4²-$\frac{1}{2}$×0.1×1²-0.1×10×0.6=0.15J      
答：（1）金屬棒豎直向上運動時的加速度a的大小為12.5m/s²；
（2）C、D兩點間的距離L₂為1m．
（3）金屬棒從位置Ⅰ運動到位置Ⅱ的過程中，電流對電阻所做的功W為0.15J．

點評 本題關(guān)鍵抓住勻減速運動的特點：合力一定，加速度一定，靈活選擇研究的位置．要掌握安培力的經(jīng)驗公式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，能熟練進行推導(dǎo)．