Question

14．2010年上海世博會(huì)某國(guó)家館內(nèi)，有一“發(fā)電電”地板，利用游人走過(guò)此處，踩踏地板發(fā)電．其原因是地板下有一發(fā)電裝置，如圖l所示，裝置的主要結(jié)構(gòu)是一個(gè)截面半徑為r、匝數(shù)為n的線圈，緊固在與地板相連的塑料圓筒P上．磁場(chǎng)的磁感線沿半徑方向均勻分布，圖2為橫截面俯視圖．輕質(zhì)地板四角各連接有一個(gè)勁度系數(shù)為k的復(fù)位彈簧（圖中只畫(huà)出其中的兩個(gè)）．當(dāng)?shù)匕迳舷峦�返運(yùn)動(dòng)時(shí)，便能發(fā)電．若線圈所在位置磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，線圈的總電阻為R₀，現(xiàn)用它向一個(gè)電阻為R的小燈泡供電．為了便于研究，將某人走過(guò)時(shí)地板發(fā)生的位移一時(shí)間變化的規(guī)律簡(jiǎn)化為圖3所示．（取地板初始位置x=0，豎直向下為位移的正方向，且彈簧始終處在彈性限度內(nèi)．）

（1）取圖2中逆時(shí)針?lè)较螂娏鳛檎�方向，�?qǐng)?jiān)趫D4所示坐標(biāo)系中畫(huà)出線圈中感應(yīng)電流i隨時(shí)間t變化的圖線，并標(biāo)明相應(yīng)縱坐標(biāo)．要求寫(xiě)出相關(guān)的計(jì)算和判斷過(guò)程．
（2）t=$\frac{t_0}{2}$時(shí)地板受到的壓力．
（3）求人踩踏一次地板所做的功．

Answer 1

分析 （1）由右手定則可知線圈中電流的方向，由圖可知線圈做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則由E=BLV可求線圈的電動(dòng)勢(shì)；
由閉合電路歐姆定律可得出電流的大小，則可得出電流隨時(shí)間變化的圖象；
（2）由安培力公式求得$\frac{{t}_{0}}{2}$ 是時(shí)刻線圈受到的安培力，則由受力平衡可求得地板受到的壓力；
（3）在踩踏過(guò)程中彈力做功為零，則人做的功轉(zhuǎn)化為電能，由能量守恒可求得人所做的功．

解答 解：（1）由右手定則可知，0～t₀時(shí)刻電流方向沿正方向，t₀～2t₀時(shí)刻電流方向沿反方向；
線圈在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度為：v=$\frac{{x}_{0}}{{t}_{0}}$，
電動(dòng)勢(shì)的大小均為：E=nB2πrv，
解得：E=$\frac{2πnrB{x}_{0}}{{t}_{0}}$；
由歐姆定律可知，電流：I=$\frac{E}{R+{R}_{0}}$，
解得：I=$\frac{2πnBr{x}_{0}}{（R+{R}_{0}）{t}_{0}}$
電路如圖所示：

（2）0～t₀時(shí)刻，線圈內(nèi)安培力方向向上，且有：
F_安=nBI•2πr=$\frac{4πnBr{x}_{0}}{（R+{R}_{0}）{t}_{0}}$，
$\frac{{t}_{0}}{2}$時(shí)刻地板受到的壓力為：
F_N=4k$\frac{{x}_{0}}{2}$+F_安；
得地板受到的壓力為：
F_N=2kx₀+$\frac{4πnBr{x}_{0}}{（R+{R}_{0}）{t}_{0}}$；
（3）全過(guò)程中彈力做功為零，則由功能關(guān)系可得：
人做的功：W=E_電=I²（R+R₀）2t₀=$\frac{8{π}^{2}{n}^{2}{r}^{2}{B}^{2}{x}_{0}^{2}}{（R+{R}_{0}）{t}_{0}}$；
答：（1）如圖所示，計(jì)算過(guò)程如上所述；
（2）t=$\frac{{t}_{0}}{2}$時(shí)地板受到的壓力為：2kx₀+$\frac{4πnBr{x}_{0}}{（R+{R}_{0}）{t}_{0}}$；
（3）人踩踏一次地板所做的功為：$\frac{8{π}^{2}{n}^{2}{r}^{2}{B}^{2}{x}_{0}^{2}}{（R+{R}_{0}）{t}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題巧妙地將我們所常見(jiàn)的導(dǎo)體切割磁感線類(lèi)題目變形，由直線變成了曲線，但解法不變；解題的關(guān)鍵在于理確題目中線圈與磁場(chǎng)的關(guān)系、能量轉(zhuǎn)化的關(guān)系．