Question

2．蕩秋千是一項古老的運動，秋千是一塊板用兩根繩系在兩個固定的懸點組成，設(shè)某人的質(zhì)量為m，身高為H，站立時重心離腳底$\frac{H}{2}$，蹲下時重心離腳底$\frac{H}{4}$，繩子懸掛點到踏板的繩長為6H，繩子足夠柔軟且不可伸長，繩子和踏板的質(zhì)量不計，人身體始終與繩子保持平行，重力加速度為g．
（1）若該人在踏板上保持站式，由伙伴將其推至擺角θ₀（單位：rad），由靜止釋放，忽略空氣阻力，求擺至最低點時每根繩的拉力大小；
（2）若該人在踏板上保持站式，由伙伴將其推至擺角θ₁ （單位：rad），由靜止釋放，擺至另一側(cè)最大擺角為θ₂（單位：rad），設(shè)空氣阻力大小恒定，作用點距離腳底為$\frac{H}{3}$，求空氣阻力的大小．
（3）若該人在踏板上采取如下步驟：當蕩至最高處時，突然由蹲式迅速站起，而后緩緩蹲下，擺至另一側(cè)最高處時已是蹲式，在該處又迅速站起，之后不斷往復，可以蕩起很高．用此法可以蕩起的最大擺角為θm 弧度，假設(shè)人的“緩緩蹲下”這個動作不會導致系統(tǒng)機械能的損耗，而且空氣阻力大小和作用點與第（2）問相同，試證明：$\frac{{θ}_{m}}{cos{θ}_{m}}$=$\frac{{θ}_{1}+{θ}_{2}}{44（cos{θ}_{2}-cos{θ}_{1}）}$．

Answer 1

分析 （1）人在擺動過程中機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律列式求最低點速度，再根據(jù)重力和拉力的合力提供向心力列式求拉力；
（2）先計算出人從一側(cè)最高點到另一側(cè)最高點過程中機械能的減小量，然后根據(jù)大小恒定的變力做功的表達式W=FS計算出克服阻力做功等于阻力與路程的乘積；
（3）對人運動一個周期的過程進行分析，克服阻力做功等于阻力與路程的乘積，人做功補償?shù)臋C械能等于人站起而使重力勢能增加的量，列方程求解．

解答 解：
（1）設(shè)蕩至最低點時速度為v，則由機械能守恒定律有$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mg（6H-\frac{H}{2}）（1-cos{θ}_{0}）$
設(shè)拉力為F，則由牛頓第二定律$F-mg=m\frac{{v}^{2}}{6H-\frac{H}{2}}$
求得F=3mg-2mgcosθ₀
每根繩的拉力     $F'=\frac{1}{2}F=\frac{{3mg-2mgcos{θ_0}}}{2}$
（2）全程損耗的機械能為${△E}_{機}=mg（6H-\frac{H}{2}）（cos{θ}_{2}-cos{θ}_{1}）$
空氣阻力做的功為${W}_{f}=-f（6H-\frac{H}{3}）（{θ}_{2}+{θ}_{1}）$
由功能關(guān)系有W_f=△E_K
求得   $f=\frac{{33（cos{θ_2}-cos{θ_1}）}}{{34（{θ_1}+{θ_2}）}}mg$
（3）在一個周期內(nèi)，通過“迅速站起”獲得的機械能（重力勢能）是
${△E}_{機}=2mg（\frac{H}{2}-\frac{H}{4}）cos{θ}_{m}$
空氣阻力做的功是${W}_{f}=-4f（6H-\frac{H}{3}）{θ}_{m}$
由功能關(guān)系有W_f=△E_K
求得：$\frac{{θ}_{m}}{cos{θ}_{m}}$=$\frac{{θ}_{1}+{θ}_{2}}{44（cos{θ}_{2}-cos{θ}_{1}）}$，得證．
答：（1）擺至最低點時每根繩的拉力大小為$\frac{3mg-2mgcos{θ}_{0}}{2}$；
（2）空氣阻力的大小為$\frac{33（cos{θ}_{2}-cos{θ}_{1}）}{34（{θ}_{1}+{θ}_{2}）}mg$；
（3）證明如上．

點評 本題關(guān)鍵是根據(jù)功能關(guān)系列方程求解，要注意阻力做的功等于阻力與路程的乘積．