Question

20．如圖所示，一質量為m的小球，可視為質點，系于長為R的輕繩的一端，繩的另一端固定在空間的O點，輕繩柔軟且不可伸長，現(xiàn)把小球從O點的正上方離O點的距離為$\frac{3}{4}$R的O₁點以水平速度v₀=$\sqrt{\frac{2gR}{3}}$拋出．求：
（1）繩繃直后瞬間，小球的速度；
（2）當小球運動到O點的正下方時，小球的速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運動的規(guī)律，結合幾何關系，確定此時繩子剛好繃直時小球所處的位置，將該速度分解沿繩子和垂直繩方向，抓住繃緊后瞬間僅剩下垂直繩子方向的分速度求出繃緊后瞬間小球的速度．
（2）根據(jù)機械能守恒求出小球運動到O點正下方時的速度．

解答 解：小球做平拋運動．設繩即將伸直時，繩與豎直方向的夾角為θ，
則 v₀t=Rsinθ，$\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{3}{4}R-Rcosθ$，
解得θ=90°，可知繩子處于水平狀態(tài)時，繩子繃直，
根據(jù)h=$\frac{3}{4}R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{3R}{2g}}$，
設此時小球速度與水平方向的夾角為α，則tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{gt}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{\frac{3gR}{2}}}{\sqrt{\frac{2gR}{3}}}=\frac{3}{2}$，
將小球的速度分解為沿繩子方向和垂直繩子方向，繃直后的瞬間，僅剩下垂直繩子方向的分速度，
即v_⊥=vsinα=${v}_{y}=\sqrt{\frac{3gR}{2}}$，
（2）根據(jù)機械能守恒定律得，$mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{⊥}}^{2}$，
解得v=$\sqrt{\frac{7gR}{2}}$．
答：（1）繩繃直后瞬間，小球的速度為$\sqrt{\frac{3gR}{2}}$；
（2）當小球運動到O點的正下方時，小球的速度為$\sqrt{\frac{7gR}{2}}$．

點評 本題關鍵是將小球的運動分為三個過程進行分析討論，平拋運動過程、突然繃緊的瞬時過程和變速圓周運動過程；然后根據(jù)對各段運用平拋運動位移公式、速度分解法則、機械能守恒定律進行求解，有一定的難度．