Question

1．如圖是某裝置的垂直截面圖，虛線A₁A₂是垂直截面與磁場區(qū)邊界面的交線，勻強(qiáng)磁場分布在A₁A₂的右側(cè)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.4T，方向垂直紙面向外，A₁A₂與垂直截面上的水平線夾角為45°．A₁A₂的左側(cè)，固定的薄板和等大的擋板均水平放置，它們與垂直截面交線分別為S₁、S₂，相距L=0.2m．在薄板上P處開一小孔，P與A₁A₂線上點(diǎn)D的水平距離為L．在小孔處裝一個(gè)電子快門．起初快門開啟，一旦有帶正電微粒通過小孔，快門立即關(guān)閉，此后每隔T=3.0×10^-3s開啟一次并瞬間關(guān)閉．從S₁S₂之間的某一位置水平發(fā)射一速度為v₀的帶正電微粒，它經(jīng)過磁場區(qū)域后入射到P處小孔．通過小孔的微粒與檔板發(fā)生碰撞而反彈，反彈速度大小是碰前的0.5倍．（忽略微粒所受重力影響，碰撞過程無電荷轉(zhuǎn)移．已知微粒的荷質(zhì)比$\frac{q}{m}$=1.0×10³C/kg．只考慮紙面上帶電微粒的運(yùn)動(dòng)）求：
（1）滿足題目的微粒在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑的條件？
（2）經(jīng)過一次反彈直接從小孔射出的微粒，其初速度v₀應(yīng)為多少？
（3）上述（2）問中微粒從最初水平射入磁場到第二次離開磁場的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解半徑表達(dá)式，欲使微粒能進(jìn)入小孔，半徑r的取值范圍為：L＜r＜2L，帶入可求得速度范圍．
（2）欲使進(jìn)入小孔的微粒與擋板一次相碰返回后能通過小孔，還必須滿足條件：$\frac{L}{{v}_{0}}$+$\frac{L}{0.5{v}_{0}}$=nT，其中n=1，2，3，…進(jìn)而即可求得初速度v₀；
（3）畫出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)周期公式求出在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期，分別求出帶電微粒第一次、第二次在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和第一次離開磁場運(yùn)動(dòng)到擋板的時(shí)間及碰撞后再返回磁場的時(shí)間為，總時(shí)間為4個(gè)時(shí)間時(shí)間之和．

解答 解：（1）如圖所示，設(shè)帶正電微粒在S₁S₂之間任意點(diǎn)Q以水平速度v₀進(jìn)入磁場，微粒受到的洛侖茲力為f，在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，有：
 Bqv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$…①
欲使微粒能進(jìn)入小孔，半徑r的取值范圍為：L＜r＜2L…②
即 0.4m＜r＜0.8m
對(duì)于微粒的初速度，代入數(shù)據(jù)得：80 m/s＜v₀＜160 m/s…③
（2）欲使進(jìn)入小孔的微粒與擋板一次相碰返回后能通過小孔，還必須滿足條件：$\frac{L}{{v}_{0}}$+$\frac{L}{0.5{v}_{0}}$=nT，其中n=1，2，3，…④
由③④可知，只有n=2滿足條件，即有：v₀=100 m/s…⑤
（3）設(shè)微粒在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T₀，從水平進(jìn)入磁場到第二次離開磁場的總時(shí)間為t，設(shè)t₁、t₄分別為帶電微粒第一次、第二次在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，第一次離開磁場運(yùn)動(dòng)到擋板的時(shí)間為t₂，碰撞后再返回磁場的時(shí)間為t₃，運(yùn)動(dòng)軌跡如答圖所示，則有：
 T₀=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$；  
 t₁=$\frac{3}{4}$T₀； t₂=$\frac{2L}{{v}_{0}}$； t₃=$\frac{2L}{0.5{v}_{0}}$=$\frac{4L}{{v}_{0}}$； t₄=$\frac{1}{4}$T₀
所以有：t=t₁+t₂+t₃+t₄=2.8×10^-2s
答：（1）滿足題目的微粒在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑的條件是0.4m＜r＜0.8m．
（2）通過一次反彈直接從小孔射出的微粒，其初速度v₀應(yīng)為100 m/s；
（3）上述微粒從最初水平射入磁場到第二次離開磁場的時(shí)間為2.8×10^-2s．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問題，要求同學(xué)們能畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，要正確分析帶電微粒的運(yùn)動(dòng)過程，運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法和幾何知識(shí)結(jié)合解答．