Question

17．如圖所示，BCPC′D是由半徑為R的圓軌道與半徑為2R的BCD圓弧軌道相切于C（C′）點構(gòu)成的豎直螺旋軌道，C、C′間距離可以忽略．與水平面夾角都是37°的傾斜軌道AB、ED分別與BC、C’D圓弧相切于B、D點，將一輕質(zhì)彈簧的一端固定在AB軌道的固定板上，固定板中央留有小孔，平行于軌道AB的細線穿過固定板的小孔和彈簧跨過定滑輪將小球和大球連接，小球與彈簧接觸但不相連，小球質(zhì)量為m，大球質(zhì)量為$\frac{6}{5}$m，初始時兩球靜止，若將小球與細線突然斷開（無限長DE軌道與小球間摩擦系數(shù)為μ=0.75，其余軌道摩擦不計，重力加速度為g）．
（1）求細線剛斷時，小球的加速度大�。�
（2）求小球恰好能完成豎直圓周運動的情況下，小球在經(jīng)過C點時，在C點左右兩邊對軌道的壓力之差；
（3）求小球沿DE軌道上滑到最高點時距C的豎直高度．

Answer 1

分析 （1）細線剛斷時，小球的加速度大小根據(jù)牛頓第二定律求解；
（2）小球在經(jīng)過C點時，在C點左右兩邊相當(dāng)于分別在兩個圓周上過最低點，根據(jù)重力和軌道的支持力的合力提供向心力，列式得到壓力改變量與速度的關(guān)系式；小球恰好能完成豎直圓周運動時，在最高點由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求得最高點小球的速度．小球從最低點到最高點的過程中，機械能守恒，列出方程，聯(lián)立即可求解．
（3）小球沿DE軌道上滑過程，運用動能定理求解．

解答 解：（1）線未斷時，彈簧對小球m的彈力大小為：F_N=$\frac{6}{5}$mg-mgsin37°
細線剛斷時，小球的加速度為：a=$\frac{{F}_{N}+mgsin37°}{m}$
解得：a=$\frac{6}{5}$g
（2）小球在經(jīng)過C點時，在C點左右兩邊相當(dāng)于分別在兩個圓周上過最低點，在右邊：軌道對小球的支持力為：
F_N1=F_n1+mg
得：F_N1=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$+mg
在左邊：軌道對小球的支持力為：F_N2=F_n2+mg
得：F_N2=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$+mg
則小球?qū)�軌道的壓力之差為：△F=F₂-F₁=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$-m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
又 R₁=2R，R₂=R，
解得：△F=$\frac{m{v}^{2}}{2R}$
又小球從C點到P點過程中，機械能守恒，則得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$
在最高點P時，由重力提供向心力，則有：mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：v=$\sqrt{5gR}$，△F=$\frac{5}{2}$mg
（3）小球沿DE軌道上滑過程，運用動能定理得：
-mgh=0-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：h=2.5R
答：（1）細線剛斷時，小球的加速度大小是$\frac{6}{5}$g；
（2）小球恰好能完成豎直圓周運動的情況下，小球在經(jīng)過C點時，在C點左右兩邊對軌道的壓力之差是$\frac{5}{2}$mg；
（3）小球沿DE軌道上滑到最高點時距C的豎直高度是2.5R．

點評 本題是復(fù)雜的力學(xué)問題，對于圓周運動，分析向心力的來源是關(guān)鍵，對于小球運動過程之中，要抓住機械能守恒，要具有解決綜合問題的能力，需要加強這方面的練習(xí)．