Question

3．如圖一個水平放置的圓盤邊緣系一根勁度系數k=5N/cm，原長l=4cm的輕彈簧，彈簧的下端拴著一個質量為m=400g的小球，圓盤的半徑r=4.5cm，圓盤繞中心豎直固定軸勻速轉動時小球隨著一起繞中心豎直軸勻速轉動，不計空氣阻力，穩(wěn)定后彈簧長度保持不變且與豎直方向成θ=37°角：（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）穩(wěn)定后彈簧長度l；
（2）穩(wěn)定后圓盤勻速轉動的角速度ω．

Answer 1

分析 對小球受力分析，畫出受力分析圖，根據幾何關系結合胡克定律求出彈簧的長度，小球隨著一起轉動時在水平面內做勻速圓周運動，由重力和彈簧彈力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求解角速度．

解答 解：（1）小球受到重力、彈簧的彈力，合力提供向心力，受力示意圖如圖所示：
根據幾何關系得：
cos37$°=\frac{mg}{{F}_{彈}}$
解得：${F}_{彈}=\frac{0.4×10}{0.8}=5N$，
則彈簧的伸長量為$△x=\frac{{F}_{彈}}{k}=\frac{5N}{5N/cm}=1cm$，
所以穩(wěn)定后彈簧長度l=1+4cm=5cm
（2）以小球為研究對象，由題可知，小球在水平面內做勻速圓周運動，半徑為R=Lsinθ+r，由重力和彈簧彈力的合力提供向心力，
由牛頓第二定律得
   mgtanθ=mω²R
又  R=lsinθ+r
解得：ω=$\sqrt{\frac{gtanθ}{lsinθ+r}}=\sqrt{\frac{10×0.75}{0.05×0.6+0.045}}$=10rad/s
答：（1）穩(wěn)定后彈簧長度l為5cm；
（2）穩(wěn)定后圓盤勻速轉動的角速度為10rad/s．

點評 本題是圓錐擺問題，容易出錯的地方是圓周運動半徑的確定，不等于彈簧的長度，也不等于Lsinθ，是軌跡圓的半徑，由幾何知識確定．