Question

4．2014年4月18日，美國國家航空航天局宣布首次在太陽系外發(fā)現(xiàn)“類地”行星“開普勒一186f”（如圖所示）．假如未來的某一天，宇航員乘宇宙飛船對該行星進(jìn)行科學(xué)觀察時，測得飛船在離該行星表面高h(yuǎn)的軌道上繞行星做周期為T的勻速圓周運動．已知該行星的半徑為R，引力常量為G，忽略該行星自轉(zhuǎn)的影響．則根據(jù)上述數(shù)據(jù)得出的正確結(jié)論是（　　）

• A． 該行星的質(zhì)量是$\frac{4{π}^{2}{h}^{3}}{G{T}^{2}}$
• B． 該行星的平均密度是ρ=$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
• C． 該行星表面的重力加速度大小是$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
• D． 該行星的第一宇宙速度大小是$\frac{2π}{T}\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{R}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力即可求出該行星的質(zhì)量；結(jié)合體積的公式即可求出行星的密度；根據(jù)萬有引力等于重力求出星球表面的重力加速度和第一宇宙速度．

解答 解：A、根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，軌道半徑為：r=R+h，可得衛(wèi)星的質(zhì)量：M=$\frac{4π{r}^{3}}{G{T}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{G{T}^{2}}$．故A錯誤；
B、行星的體積：V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$
所以行星的密度：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．故B正確；
C、星球表面的重力加速度g，則：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$．故C錯誤；
D、根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力，$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{R}$=mg
所以星球的第一宇宙速度：$v=\sqrt{gR}$$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{{T}^{2}R}}$=$\frac{2π}{T}\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{R}}$，故D正確．
故選：BD

點評 本題關(guān)鍵是通過自由落體運動求出星球表面的重力加速度，再根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力和萬有引力等于重力求解．