Question

12．如圖所示，斜面的傾角為30°放在水平面上，輕繩通過(guò)兩個(gè)滑輪于A相連，輕繩的另一端固定于天花板上，不計(jì)輕繩與滑輪的摩擦，物塊A的質(zhì)量為m，且與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，不計(jì)滑輪的質(zhì)量，掛在物塊B后，當(dāng)動(dòng)滑輪兩邊輕繩的夾角為90°時(shí)，A，B恰能保持靜止，整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，重力加速度為g，最大靜摩擦近似等于滑動(dòng)摩擦．求：
（1）物塊B的質(zhì)量為多少時(shí)，A與斜面恰好沒(méi)有摩擦力作用；
（2）A與斜面恰好沒(méi)有摩擦力作用時(shí)，水平地面對(duì)斜面的摩擦力為多大；
（3）物塊B的質(zhì)量滿足什么條件時(shí)，物塊A能在斜面上保持靜止．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)A與斜面恰好沒(méi)有摩擦力作用時(shí)，A受到重力、斜面的支持力和繩子的拉力，根據(jù)平衡條件求出繩子的拉力，再C對(duì)滑輪研究，由平衡條件求B的質(zhì)量．
（2）對(duì)斜面和A整體研究，由平衡條件求解水平地面對(duì)斜面的摩擦力．
（3）當(dāng)A剛要下滑時(shí)B的質(zhì)量最小，當(dāng)A剛好上滑時(shí)B的質(zhì)量最大，A剛要滑動(dòng)時(shí)靜摩擦力達(dá)到最大值，根據(jù)平衡條件解答．

解答 解：（1）當(dāng)A與斜面間的摩擦力F_f=0N時(shí)，A受到重力、斜面的支持力和繩子的拉力，則得繩子的拉力
  T=mgsin30°=0.5mg
對(duì)于滑輪有：$\sqrt{2}$T=m_Bg
可得 m_B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m
（2）對(duì)斜面和A整體研究，由平衡條件得：
水平方向有：f=Tcos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$mg
（3）解：以A為研究對(duì)象，受力分析，如圖，當(dāng)B的質(zhì)量最大時(shí)，A有向上的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，靜摩擦力達(dá)到最大．
根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件，有：
  mgsin30°+f_m=T              
  N=mgcos30°                
又 f_m=μN(yùn)                     
聯(lián)立得：T=$\frac{1+\sqrt{3}μ}{2}$mg
以動(dòng)滑輪為研究對(duì)象，有：
 m_Bg=$\sqrt{2}$T
解之得：m_B=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}μ}{2}$m
同理，當(dāng)A剛要下滑時(shí)b的質(zhì)量最小，A所受的靜摩擦力沿斜面向上達(dá)到最大，則有：
  mgsinα=μmgcosα+T′
以動(dòng)滑輪為研究對(duì)象，有：m_B′g=$\sqrt{2}$T′
聯(lián)立解得 m_B′=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}μ}{2}$m
故要保證物塊A能在斜面上保持靜止，B的質(zhì)量范圍為：$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}μ}{2}$m≤m_B≤$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}μ}{2}$m．
答：（1）物塊B的質(zhì)量為$\frac{\sqrt{2}}{2}$m時(shí)，A與斜面恰好沒(méi)有摩擦力作用；
（2）A與斜面恰好沒(méi)有摩擦力作用時(shí)，水平地面對(duì)斜面的摩擦力為$\frac{\sqrt{2}}{2}$mg；
（3）物塊B的質(zhì)量滿足條件為：$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}μ}{2}$m≤m_B≤$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}μ}{2}$m時(shí)，物塊A能在斜面上保持靜止．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要把握物體剛要滑動(dòng)的臨界條件：靜摩擦力達(dá)到最大值，靈活選取研究對(duì)象，抓住A與滑輪之間的聯(lián)系：繩子，由平衡條件和摩擦力公式解答．