Question

11．在水平圓盤(pán)上有一過(guò)圓心的光滑水平槽，槽內(nèi)有兩根原長(zhǎng)、勁度系數(shù)均相同的橡皮繩拉住一質(zhì)量為m的小球，一條橡皮繩拴在O點(diǎn)，另一條拴在O′點(diǎn)，其中O點(diǎn)為圓盤(pán)的中心，O′點(diǎn)為圓盤(pán)的邊緣．橡皮繩的勁度系數(shù)為k，原長(zhǎng)為圓盤(pán)半徑R的$\frac{1}{3}$．現(xiàn)使圓盤(pán)角速度由零緩慢增大，求圓盤(pán)的角速度ω₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{k}{m}}$與ω₂=$\sqrt{\frac{4k}{7m}}$時(shí)，小球所對(duì)應(yīng)的線速度之比v₁：v₂．

Answer 1

分析 首先分析圓盤(pán)的角速度為ω₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{k}{m}}$與ω₂=$\sqrt{\frac{4k}{7m}}$時(shí)，兩橡皮繩是否都有拉力．根據(jù)牛頓第二定律求出外面一根橡皮繩剛好松弛時(shí)圓盤(pán)的臨界角速度ω₀，再判斷兩橡皮繩的狀態(tài)，再由牛頓第二定律求解線速度．

解答 解：當(dāng)轉(zhuǎn)速為ω₀時(shí)，外側(cè)橡皮繩恰好無(wú)引力
則有：$k（\frac{2}{3}R-\frac{R}{2}）=m\frac{2}{3}Rω_0^2$
可得：${ω_0}=\sqrt{\frac{k}{2m}}$
當(dāng)$ω={ω_1}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}＜{ω_0}$，故兩繩均有拉力
設(shè)此時(shí)半徑為r₁，則有
$k（{r_1}-\frac{R}{3}）-k（R-{r_1}-\frac{R}{3}）=m{r_1}ω_1^2$
得${r}_{1}=\frac{4}{7}R$
當(dāng)$ω={ω}_{2}=\sqrt{\frac{4k}{7m}}＞{ω}_{0}$，故右側(cè)繩有拉力
設(shè)此時(shí)半徑為r₂，則有：
$k（{r_2}-\frac{R}{3}）=m{r_2}ω_2^2$
得${r_2}=\frac{7}{9}R$
故$\frac{v_1}{v_2}=\frac{{{r_1}{ω_1}}}{{{r_2}{ω_2}}}$
得：$\frac{v_1}{v_2}=\frac{{9\sqrt{7}}}{49}$
答：圓盤(pán)的角速度ω₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{k}{m}}$與ω₂=$\sqrt{\frac{4k}{7m}}$時(shí)，小球所對(duì)應(yīng)的線速度之比v₁：v₂為9$\sqrt{7}$：49．

點(diǎn)評(píng) 本題是隱含的臨界問(wèn)題，要善于分析物體的臨界狀態(tài)，挖掘隱含的條件．中等難度．