Question

20．如圖是阿毛同學(xué)的漫畫(huà)中出現(xiàn)的裝置，描述了一個(gè)“吃貨”用來(lái)做“糖炒栗子”的“萌”事兒：將板栗在地面小平臺(tái)上以一定的初速經(jīng)兩個(gè)四分之一圓弧銜接而成的軌道，從最高點(diǎn)P飛出進(jìn)入炒鍋內(nèi)，利用來(lái)回運(yùn)動(dòng)使其均勻受熱．我們用質(zhì)量為m的小滑塊代替栗子，借這套裝置來(lái)研究一些物理問(wèn)題．設(shè)大小兩個(gè)四分之一圓弧半徑為2R和R，小平臺(tái)和圓弧均光滑．將過(guò)鍋底的縱截面看作是兩個(gè)斜面AB、CD和一段光滑圓弧組成．斜面動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.25，而且不隨溫度變化．兩斜面傾角均為θ=37°，AB=CD=2R，A、D等高，D端固定一小擋板，碰撞不損失機(jī)械能．滑塊的運(yùn)動(dòng)始終在包括鍋底最低點(diǎn)的豎直平面內(nèi)，重力加速度為g．
（1）如果滑塊恰好能經(jīng)P點(diǎn)飛出，為了使滑塊恰好沿AB斜面進(jìn)入鍋內(nèi)，應(yīng)調(diào)節(jié)鍋底支架高度使斜面的A、D點(diǎn)離地高為多少？
（2）接（1）問(wèn)，求滑塊在鍋內(nèi)斜面上走過(guò)的總路程．
（3）對(duì)滑塊的不同初速度，求其通過(guò)最高點(diǎn)P和小圓弧最低點(diǎn)Q時(shí)受壓力之差的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出滑塊恰好到達(dá)P點(diǎn)的速度，根據(jù)速度方向與斜面AB平行，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，運(yùn)用平行四邊形定則求出豎直分速度，從而得出AD離地的高度．
（2）根據(jù)平行四邊形定則求出進(jìn)入A點(diǎn)時(shí)滑塊的速度，對(duì)全過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出滑塊在鍋內(nèi)斜面上走過(guò)的總路程．
（3）根據(jù)牛頓第二定律分別求出P、Q的彈力，結(jié)合機(jī)械能守恒定律得出壓力差，結(jié)合最高點(diǎn)的最小速度求出壓力之差的最小值．

解答 解：（1）在P點(diǎn) $mg=m\frac{{{v}_{p}}^{2}}{2R}$，解得${v}_{p}=\sqrt{2gR}$．
到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度方向要沿著AB，${v}_{y}={v}_{p}tanθ=\frac{3}{4}\sqrt{2gR}$．
所以AD離地高度為$h=3R-\frac{{{v}_{y}}^{2}}{2g}=\frac{39}{16}R$．
（2）進(jìn)入A點(diǎn)滑塊的速度為$v=\frac{{v}_{p}}{cosθ}=\frac{5}{4}\sqrt{2gR}$，
假設(shè)經(jīng)過(guò)一個(gè)來(lái)回能夠回到A點(diǎn)，設(shè)回來(lái)時(shí)動(dòng)能為E_k，
${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-4μmgcosθ•8R＜0$，
所以滑塊不會(huì)滑到A而飛出．    
根據(jù)動(dòng)能定理得，$mg•2Rsinθ-μmgcosθ•s=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得，1.2mgR-0.2mgs=-$\frac{25}{16}mgR$
解得滑塊在鍋內(nèi)斜面上走過(guò)得總路程$s=\frac{221R}{16}$．
（3）設(shè)初速度、最高點(diǎn)速度分別為v₁、v₂，
由牛二定律，在Q點(diǎn)，${F}_{1}-mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，解得${F}_{1}=mg+m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
在P點(diǎn)，${F}_{2}+mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2R}$．解得${F}_{2}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2R}-mg$
所以${F}_{1}-{F}_{2}=2mg+\frac{m（2{{v}_{1}}^{2}-2{{v}_{2}}^{2}+{{v}_{2}}^{2}）}{2R}$．
由機(jī)械能守恒得，$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}+mg•3R$，
得${{v}_{1}}^{2}-{{v}_{2}}^{2}=6gR$為定值．
代入v₂的最小值$\sqrt{2gR}$，得壓力差的最小值為9mg．
答：（1）應(yīng)調(diào)節(jié)鍋底支架高度使斜面的A、D點(diǎn)離地高為$\frac{39}{16}R$；
（2）滑塊在鍋內(nèi)斜面上走過(guò)的總路程為$\frac{221R}{16}$．
（3）通過(guò)最高點(diǎn)P和小圓弧最低點(diǎn)Q時(shí)受壓力之差的最小值為9mg．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平拋運(yùn)動(dòng)、動(dòng)能定理及機(jī)械能守恒、牛頓運(yùn)動(dòng)定律等基本規(guī)律的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，是一道好題．