Question

19．如圖（a）所示，在真空中，半徑為b的虛線(xiàn)所圍的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向與紙面垂直．在磁場(chǎng)右側(cè)有一對(duì)平行金屬板M和N，兩板間距離也為b，板長(zhǎng)為2b，兩板的中心線(xiàn)O₁O₂與磁場(chǎng)區(qū)域的圓心O在同一直線(xiàn)上，兩板左端與O₁也在同一直線(xiàn)上．有一電荷量為+q、質(zhì)量為m的帶電粒子，以速率v₀從圓周上的P點(diǎn)沿垂直于半徑OO₁并指向圓心O的方向進(jìn)入磁場(chǎng)，當(dāng)從圓周上的O₁點(diǎn)飛出磁場(chǎng)時(shí)，給M、N板加上如圖（b）所示電壓u．最后粒子剛好以平行于N板的速度，從N板的邊緣飛出．不計(jì)平行金屬板兩端的邊緣效應(yīng)及粒子所受的重力．
（1）求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（2）求交變電壓的周期T和電壓U₀的值；
（3）若t=$\frac{T}{2}$粒子以速度v₀沿O₂O₁射入電場(chǎng)時(shí)，粒子要向上偏轉(zhuǎn)，最后從M板的右端進(jìn)入磁場(chǎng)，做出偏轉(zhuǎn)的軌跡圖，利用幾何關(guān)系可判知磁場(chǎng)中射出的點(diǎn)到P點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，用牛頓第二定律可求出磁場(chǎng)的大小，用左手定則可判知磁場(chǎng)的方向．
（2）粒子進(jìn)入電場(chǎng)后將做復(fù)雜的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，但在水平方向上是勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上是周期性的偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，豎直方向的位移是$\frac{2}$，應(yīng)用周期性的偏轉(zhuǎn)位移進(jìn)行求解．
（3）當(dāng)t=$\frac{T}{2}$粒子以速度v₀沿O₂O₁射入電場(chǎng)時(shí)，粒子要向上偏轉(zhuǎn)，最后從M板的右端進(jìn)入磁場(chǎng)，做出偏轉(zhuǎn)的軌跡圖，利用幾何關(guān)系可判知磁場(chǎng)中射出的點(diǎn)到P點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）粒子自P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)向右偏轉(zhuǎn)，從O₁點(diǎn)水平飛出磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)的半徑必為b，如圖一所示：洛倫茲力提供向心力，有：
$q{v_0}B=\frac{mv_0^2}$
解得：$B=\frac{{m{v_0}}}{bq}$
由左手定則可知，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外．
（2）粒子自O(shè)₁點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，做變加速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，最后恰好從N板的邊緣平行飛出（如圖二所示），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則水平方向上有：
2b=v₀t 
在豎直方向上有：
$\frac{2}=2n•\frac{1}{2}•\frac{{q{U_0}}}{mb}{（{\frac{T}{2}}）^2}$
t=nT（n=1，2，…） 
解得：$T=\frac{2b}{{n{v_0}}}$（n=1，2，…） 
${U_0}=\frac{nmv_0^2}{2q}$（n=1，2，…） 
（3）當(dāng)t=$\frac{T}{2}$粒子以速度v₀沿O₂O₁射入電場(chǎng)時(shí)，則該粒子恰好從M板邊緣以平行于極板的速度射入磁場(chǎng)（如圖三所示），且進(jìn)入磁場(chǎng)的速度仍為v₀，運(yùn)動(dòng)的軌道半徑仍為b．
設(shè)進(jìn)入磁場(chǎng)的點(diǎn)為Q，離開(kāi)磁場(chǎng)的點(diǎn)為R，圓心為O₃，如圖所示，四邊形OQ O₃R是菱形，故O R∥QO₃． 
所以P、O、R三點(diǎn)共線(xiàn)，即POR為圓的直徑．即PR間的距離為2b．
答：（1）求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$B=\frac{m{v}_{0}}{bq}$，方向垂直紙面向外．
（2）交變電壓的周期T為$T=\frac{2b}{n{v}_{0}}$（n=1，2，…）
電壓U₀為${U}_{0}=\frac{nm{v}_{0}^{2}}{2q}$（n=1，2，…），
（3）粒子從磁場(chǎng)中射出的點(diǎn)到P點(diǎn)的距離為2b．

點(diǎn)評(píng) 該題考察了帶電粒子在有邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)和在變化的電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，正確分析帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的受力并判斷其運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)及軌跡是解題的關(guān)鍵；在分析其受力及描述其軌跡時(shí)，要有較強(qiáng)的空間想象能力，并善于把空間圖形轉(zhuǎn)化為最佳平面視圖；當(dāng)帶電粒子在電磁場(chǎng)中做多過(guò)程運(yùn)動(dòng)時(shí)，關(guān)鍵是掌握基本運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)和尋找過(guò)程的邊界條件．