Question

19．若把甘肅省嘉峪關(guān)處的地理經(jīng)度和地理緯度近似取為東經(jīng)98°和北緯α=40°，已知地球半徑R、地球自轉(zhuǎn)周期T₀、地球的衛(wèi)星月球的軌道半徑為r、月球繞地球公轉(zhuǎn)周期為T和光速c．試求定點于東經(jīng)98°上空的地球同步通信衛(wèi)星發(fā)出的微波信號傳到嘉峪關(guān)處的地面衛(wèi)星信號接收站所需的時間t（要求用題目給定的已知量的符號表示）．

Answer 1

分析 微波信號傳播速度等于光速c，求時間須先求出衛(wèi)星與嘉峪關(guān)的距離．綜合運用同步衛(wèi)星的動力學(xué)關(guān)系和g=G$\frac{M}{{R}^{2}}$，解出衛(wèi)星距地心距離，再結(jié)合地球知識，作出相應(yīng)的幾何圖形，運用數(shù)學(xué)知識求出衛(wèi)星到嘉峪關(guān)的距離，即可求時間．

解答 解：設(shè)m為衛(wèi)星質(zhì)量，M為地球質(zhì)量，r為衛(wèi)星到地球中心的距離，ω為衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)動的角速度，
由萬有引力定律和牛頓定律有，G $\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mrω² ①
式中G為萬有引力恒量，因同步衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)動的角速度ω與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等，
有ω=$\frac{2π}{T}$ ②
在地球表面上，有 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
得GM=gR² ③
設(shè)嘉峪關(guān)到同步衛(wèi)星的距離為L，如圖1所示，由余弦定理
   L=$\sqrt{{r}^{2}+{R}^{2}-2rRcosα}$ ④
所求時間為  t=$\frac{L}{c}$      ⑤
由以上各式得
  t=$\frac{\sqrt{{R}^{2}+{r}^{2}\root{3}{\frac{{T}_{0}^{4}}{{T}^{4}}}-2r{R}^{3}\root{3}{\frac{{T}_{0}^{2}}{{T}^{2}}cosα}}}{c}$
答：該同步衛(wèi)星發(fā)出的微波信號傳到嘉峪關(guān)處的接收站所需的時間為$\frac{\sqrt{{R}^{2}+{r}^{2}\root{3}{\frac{{T}_{0}^{4}}{{T}^{4}}}-2r{R}^{3}\root{3}{\frac{{T}_{0}^{2}}{{T}^{2}}cosα}}}{c}$．

點評 解決本題關(guān)鍵要掌握同步衛(wèi)星的條件，分析向心力的來源，運用萬有引力定律、牛頓第二定律和幾何關(guān)系等等結(jié)合進(jìn)行求解．