Question

5．我國(guó)第一顆繞月探測(cè)衛(wèi)星--嫦娥一號(hào)于2007年10月24日成功發(fā)射．如圖所示，嫦娥一號(hào)進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道段后，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，在萬(wàn)有引力作用下，嫦娥一號(hào)通過(guò)P點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)速度最�。�嫦娥一號(hào)到達(dá)月球附近后進(jìn)入環(huán)月軌道段．若地球質(zhì)量為M，月球質(zhì)量為m，地心與月球中心距離為R，嫦娥一號(hào)繞月球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，G為萬(wàn)有引力常量，則下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． P點(diǎn)距離地心的距離為$\frac{{\sqrt{M}}}{{\sqrt{M}+\sqrt{m}}}$R
• B． P點(diǎn)距離地心的距離為$\frac{M}{M+m}$R
• C． 嫦娥一號(hào)繞月運(yùn)動(dòng)的線速度為$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
• D． 嫦娥一號(hào)繞月運(yùn)動(dòng)的周期為2πR$\sqrt{\frac{R}{Gm}}$

Answer 1

分析 嫦娥一號(hào)通過(guò)P點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)速度最小，此時(shí)地球和月球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力大小相等，根據(jù)萬(wàn)有引力定律求解P點(diǎn)距離地心的距離；嫦娥一號(hào)繞月運(yùn)動(dòng)時(shí)，由月球的萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和向心力公式列式求解線速度和周期．

解答 解：A、據(jù)題知嫦娥一號(hào)通過(guò)P點(diǎn)時(shí)地球和月球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力大小相等，設(shè)P點(diǎn)到地心和月心的距離分別為r₁和r₂．
則有 $\frac{GM{m}_{衛(wèi)}}{{{r}_{1}}^{2}}=G\frac{m{m}_{衛(wèi)}}{{{r}_{2}}^{2}}$，又r₁+r₂=R，解得：r₁=$\frac{{\sqrt{M}}}{{\sqrt{M}+\sqrt{m}}}$R，故A正確，B錯(cuò)誤．
C、嫦娥一號(hào)繞月運(yùn)動(dòng)時(shí)，由月球的萬(wàn)有引力提供向心力，則有：$G\frac{m{m}_{衛(wèi)}}{{r}^{2}}={m}_{衛(wèi)}\frac{{v}^{2}}{r}={m}_{衛(wèi)}r\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得線速度v=$\sqrt{\frac{Gm}{r}}$，T=$2πr\sqrt{\frac{r}{Gm}}$，故C、D錯(cuò)誤．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理解P點(diǎn)的引力關(guān)系，以及掌握萬(wàn)有引力提供向心力，能靈活選擇向心力的形式進(jìn)行解答．