Question

5．一個質量為m=2kg的物體由靜止從t=0開始運動，在第1、3、5…等奇數秒內作加速度為2m/s²的直線運動，在第2、4、6…偶數秒內作勻速直線運動，問：經過多長時間物體位移的大小為60.25m？

Answer 1

分析 物體在奇數秒的時間內向上做勻加速直線運動，在偶數秒的時間內向上做勻速直線運動，通過數學歸納法得出各段的速度的表達式與各段的位移的表達式，最后使用求和公式即可．

解答 解：物體在第1s內的位移：x₁=$\frac{1}{2}{a_1}t_1^2=\frac{1}{2}$×2×1²m=1m
物體在第1s末的速度：v₁=a₁t₁=2×1m/s=2m/s
物體在第2s內的位移：x₂=v₁t=2×1m=2m
物體在第2s末的速度：v₂=v₁=2m/s
物體在第3s內的位移：x₁=v₂t+$\frac{1}{2}{a_1}t_1^2$=2×1+$\frac{1}{2}$×2×1²m=3m
物體在第3s末的速度：v₃=v₁+a₁t=2m/s+2×1m/s=4m/s
物體在第4s內的位移：x₄=v₃t=4×1m=4m
物體在第4s末的速度：v₄=v₃
…
可知第n秒的位移：x_n=n
n秒內的位移：x_n=$\frac{n（n+1）}{2}$當x_n=60.25m時：120.5=n²+n
n=$\frac{{-1+\sqrt{1+4×120.5}}}{2}$=10.47，
所以：前10s的位移：x₁₀=$\frac{10×（10+1）}{2}$=55m
10s末的速度：v₁₀=5a₁t=5×2×1=10m/s剩下的△x=（60.25-55）m=5.5m的位移上需要的時間t′：
△x=v₁₀t′+$\frac{1}{2}$a₁t′²
代入數據得：t′=0.5s所以物體運動的總時間：t_總=n+t′=10+0.5=10.5s
答：經過10.5s時間物體位移的大小為60.25m．

點評 解決本題的關鍵理清物體的運動的情況，知道在各個階段物體做什么運動．以及知道加速度是聯(lián)系力學和運動學的橋梁．