Question

9．如圖所示，PQ和MN是固定于水平面內(nèi)的平行光滑金屬軌道，軌道足夠長(zhǎng)，其電阻可忽略不計(jì)．金屬棒ab、cd放在軌道上，始終與軌道垂直，且接觸良好．金屬棒ab、cd的質(zhì)量均為m，長(zhǎng)度均為L(zhǎng)．兩金屬棒的長(zhǎng)度恰好等于軌道的間距，它們與軌道形成閉合回路．金屬棒ab的電阻為2R，金屬棒cd的電阻為R．整個(gè)裝置處在豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．
（1）若保持金屬棒ab不動(dòng)，使金屬棒cd在與其垂直的水平恒力F作用下，沿軌道以速度v做勻速運(yùn)動(dòng)．試推導(dǎo)論證：在△t時(shí)間內(nèi)，F(xiàn)對(duì)金屬棒cd所做的功W等于電路獲得的電能E_電；
（2）若先保持金屬棒ab不動(dòng)，使金屬棒cd在與其垂直的水平力F′（大小未知）作用下，由靜止開(kāi)始向右以加速度a做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，水平力F′作用t₀時(shí)間撤去此力，同時(shí)釋放金屬棒ab．求兩金屬棒在撤去F′后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，
①金屬棒ab中產(chǎn)生的熱量；
②它們之間的距離改變量的最大值△x．

Answer 1

分析 （1）由功的公式可求得安培力所做的功；再由電能公式可求得獲得的電能，即可證明；
（2）①由動(dòng)量守恒及能量守恒定律可求得金屬桿上產(chǎn)生的焦耳熱；
②由法拉第電磁感應(yīng)定律明確電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式，再由動(dòng)量定理可表示中全過(guò)程中總的動(dòng)量變化，則可求得最大距離改變量．

解答 解：
（1）金屬棒cd做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受平衡力 F=F_安=BIL
在△t時(shí)間內(nèi)，外力F對(duì)金屬棒cd做功 W=Fv△t=F_安v△t=BILv△t=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{3R}△t$
金屬棒cd的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv
電路獲得的電能  E_電=Eq=EI△t=BILv△t=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{3R}△t$
即F對(duì)金屬棒cd所做的功等于電路獲得的電能E_電，
（2）
①撤去F′時(shí)，cd棒的速度大小為v₁=at₀
當(dāng)ab、cd的速度相等時(shí)，回路中的電流為零，兩棒開(kāi)始做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
因?yàn)閍b、cd棒受到的安培力等大反向，所以系統(tǒng)的動(dòng)量守恒．
設(shè)它們達(dá)到相同的速度為v₂，則：mv₁=2mv₂
根據(jù)能量守恒定律，回路中產(chǎn)生的焦耳熱總量為：Q=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²
金屬棒ab產(chǎn)生的焦耳熱：Q₁=$\frac{2Q}{3}$=$\frac{1}{6}$ma²t₀²
②
設(shè)從撤去F′到ab、cd棒的剛好達(dá)到相同速度的過(guò)程中的某時(shí)刻，ab、cd的速度差為△v，則此時(shí)回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E_i=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BL△x}{△t}$=BL△v
此時(shí)回路中的感應(yīng)電流I_i=$\frac{E}{{R}_{總}(cāng)}$=$\frac{BL△v}{3R}$
此時(shí)ab棒所受安培力F_i=BI_iL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△v}{3R}$
對(duì)ab棒根據(jù)動(dòng)量定理有：F_i△t=m△v₂
對(duì)從撤去F′到ab、cd棒剛好達(dá)到相同速度的過(guò)程求和
則有：$\sum_{i=1}^{n}\frac{{B}^{2}{L}^{2}△v}{3R}△{t}_{i}$=mv₂，即
$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{3R}\sum_{i=1}^{n}△v△{t}_{i}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{3R}$△x=mv₂
又因v₂=$\frac{{v}_{1}}{2}$=$\frac{a{t}_{0}}{2}$
所以解得最大距離改變量△x=$\frac{3ma{t}_{0}R}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
答：（1）證明如上；
（2）①金屬棒ab產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{1}{6}$ma²t₀²
②它們之間的距離改變量的最大值△x為$\frac{3ma{t}_{0}R}{2{B}^{2}{L}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查法拉第電磁感應(yīng)定律、動(dòng)量守恒定律及功能關(guān)系的應(yīng)用；要注意能正確應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行分析求解，這是本題中的難點(diǎn)所在．