Question

15．過山車是游樂場(chǎng)中常見的設(shè)施．如圖是一種過山車的簡(jiǎn)易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)半徑R=2.0m的圓形軌道組成，B、C分別是圓形軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)．一個(gè)質(zhì)量為m=1.0kg的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以v₀=12m/s的初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，A、B間距L=11.5m．小滑塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.10．圓形軌道是光滑的，水平軌道足夠長(zhǎng)．取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）滑塊經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度大小v_B；
（2）滑塊經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)受到軌道的作用力大小F；
（3）滑塊最終停留點(diǎn)D（圖中未畫出）與起點(diǎn)A的距離d．
（4）若初速度為5m/s，過山車將停在什么位置？

Answer 1

分析 （1）對(duì)小滑塊的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行分析．從A到B，摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定理得求得小滑塊的速度；
（2）運(yùn)用動(dòng)能定理求出小滑塊經(jīng)過圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度，再對(duì)小滑塊在圓軌道的最高點(diǎn)進(jìn)行受力分析，并利用牛頓第二定律求出軌道對(duì)小滑塊作用力．
（3）小滑塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程中，摩擦力做功與小滑塊動(dòng)能的變化，寫出方程即可求得結(jié)果．
（4）若初速度為5m/s，速度較小，物體到不了C點(diǎn)，在圓弧軌道上到不了與圓心等高的點(diǎn)，故會(huì)沿著BA返回；
對(duì)運(yùn)動(dòng)全程根據(jù)動(dòng)能定理列式求解路程即可．

解答 解：（1）從A到B，根據(jù)動(dòng)能定理得：
-μmgL=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$  ①
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=11m/s
（2）從B到C，根據(jù)機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$+mg•2R；
小滑塊在最高點(diǎn)受到重力mg和軌道對(duì)它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律有：
mg+F=$m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：
F=10.5N；
（3）小滑塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程中，摩擦力做功與小滑塊動(dòng)能的變化．
得：-μmgx=0-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
解得：
x=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2μg}$=72m；
（4）若初速度為5m/s，物體在圓弧軌道上到不了與圓心等高的點(diǎn)，故會(huì)沿著BA返回，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
-μmg•S=0-$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得：
S=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$=$\frac{{5}^{2}}{2×0.1×10}$=12.5m，
與A點(diǎn)距離為：x=S-L=12.5m-11.5m=1m；
答：（1）滑塊經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度大小11m/s；
（2）滑塊經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)受到軌道的作用力大小10.5N；
（3）滑塊最終停留點(diǎn)D與起點(diǎn)A的距離為72m；
（4）若初速度為5m/s，過山車將停在A點(diǎn)右側(cè)1m位置．

點(diǎn)評(píng) 選取研究過程，運(yùn)用動(dòng)能定理解題．動(dòng)能定理的優(yōu)點(diǎn)在于適用任何運(yùn)動(dòng)包括曲線運(yùn)動(dòng)．
知道小滑塊能通過圓形軌道的含義以及要使小滑塊不能脫離軌道的含義．